文章目录

• 1鱼眼相机模型
• 2鱼眼等距投影坐标计算
• 3鱼眼相机标定

1鱼眼相机模型

设fff为焦距，θ\thetaθ为光线与光轴的夹角，rrr为像点到图像坐标系原点的距离。
则对于针孔相机模型有：
r=ftanθr=ftan\thetar=ftanθ
鱼眼相机模型通常有四种
（1）等距投影
r=f.θr=f.\thetar=f.θ
(2)等立体角投影
r=2f.sin(θ2)r=2f.sin(\frac{\theta}{2})r=2f.sin(2θ​)
(3)正交投影
r=f.sinθr=f.sin\thetar=f.sinθ
(4)体视投影
r=2f.tan(θ2)r=2f.tan(\frac{\theta}{2})r=2f.tan(2θ​)
对于畸变改正，应用Kannala-Brandt 模型，则上面四种投影方式会得到相同的改正形式,改正后的θd\theta_dθd​：
θd=k0.θ+k1.θ3+k2.θ5+k3.θ7+...\theta_d=k_0.\theta+k_1.\theta^3+k_2.\theta^5+k_3.\theta^7+... θd​=k0​.θ+k1​.θ3+k2​.θ5+k3​.θ7+...
最常用的为等距投影模型。

2鱼眼等距投影坐标计算

假设相机坐标系为OcXcYcZcO_cX_cY_cZ_cOc​Xc​Yc​Zc​,图像坐标系为xoyxoyxoy,物体在相机坐标系下的坐标为P（x,y,z），p1P（x,y,z），p_1P（x,y,z），p1​（黑色点）为针孔相机投影到图像平面的点，p2p_2p2​(红色点)为鱼眼相机等距投影点，r1(op1),r2(op2)r_1(op_1),r_2(op_2)r1​(op1​),r2​(op2​)分别为针孔模型、鱼眼模型的像点到图像坐标系原点的距离,P’为P在相机坐标系OcXcYcO_cX_cY_cOc​Xc​Yc​的投影。
（1）解算θ\thetaθ

计算方式1：，则θ=arctan((x2+y2)0.5/z)\theta=arctan((x^2+y^2)^{0.5}/z)θ=arctan((x2+y2)0.5/z)。
计算方式2：对xy进行归一化，令a=x/z,b=y/z,R2=a2+b2,θ=arctan(R)a=x/z,b=y/z,R^2=a^2+b^2,\theta=arctan(R)a=x/z,b=y/z,R2=a2+b2,θ=arctan(R)。
两种方法等效。
（2）计算图像坐标
对于针孔模型而言，光束是沿直线传播的，即P,Oc,p1P,Oc,p1P,Oc,p1三点共线。所以:有三角形OcPP′O_cPP'Oc​PP′相似于三角形Ocp1oO_cp_1oOc​p1​o,所以：向量p′Ocp'O_cp′Oc​平行于向量op1op_1op1​，所以：二者与y轴的夹角相等，记为β\betaβ。在相机坐标系中有sin(β)=a/Rsin(\beta)=a/Rsin(β)=a/R。在图像坐标系中，有sin(β)=x1/r1=x2/r2sin(\beta)=x_1/r_1=x_2/r_2sin(β)=x1​/r1​=x2​/r2​。所以鱼眼相机的图像坐标:
x2=a.r2/Ry2=b.r2/Rx_2=a.r_2/R\\ y_2=b.r_2/R x2​=a.r2​/Ry2​=b.r2​/R
a,b,R可以根据坐标和计算出来，现在的问题是怎么求解r2r_2r2​？
针对等距模型而言:r=f.θr=f.\thetar=f.θ,这里不妨让f=1f=1f=1，则r=θ=arctan(R)r=\theta=arctan(R)r=θ=arctan(R)，所以对于等距模型而言，其畸变改正后的图像坐标为：
x2=a.θd/Ry2=b.θd/Rx_2=a.\theta_d/R\\ y_2=b.\theta_d/R x2​=a.θd​/Ry2​=b.θd​/R
像素坐标系下坐标为：
u=fx(x2+α.y2)+cxv=fy.y2+cyu=f_x(x_2+\alpha .y_2)+cx\\ v=f_y.y_2+cy u=fx​(x2​+α.y2​)+cxv=fy​.y2​+cy
fx,fyf_x,f_yfx​,fy​为焦距，α\alphaα为扭曲系数（不太理解这里为什么引入这个参数）,cx,cycx,cycx,cy为像主点坐标。

3鱼眼相机标定

opencv提供了两种模型的标定方法
CMei模型，位于cv::omnidir命名空间中
以及Kannala模型，位于cv::fisheye命名空间。
此外matlab也提供了基于CMei模型的标定方法。
参考：
opencv文档
1
2
球面投影
CMei模型：《Single View Point Omnidirectional Camera Calibration from Planar Grids》
《A generic camera model and calibration method for conventional, wide-angle, and fish-eye lenses》
《车载鱼眼相机自标定研究》–石恬