文章目录

• 第一章 命题逻辑
• • 常用latex数学公式
  • 1.
  • 4.
  • 5
  • 6
  • 7
  • 9
  • 10
  • 11
  • 13
  • 17
  • 19
  • 23
  • 24
  • 26
  • 27
• 第二章 一阶逻辑
• • 1.
  • 2.
  • 3.
  • 6.
  • 9.
  • 10.
  • 12.
  • 13.
  • 一阶逻辑推理理论
  • 12.
  • 13.
  • 15.
• 第三章 集合
• • 2
  • 4
  • 7
  • 8
  • 10
  • 12
  • 13.

第一章 命题逻辑

常用latex数学公式

符号	代码
∨\vee∨	$\vee$
∧\wedge∧	$\wedge$
→\rightarrow→	$\rightarrow$
⇒\Rightarrow⇒	$\Rightarrow$
⇒\Rightarrow⇒	$\Rightarrow$
⇔\Leftrightarrow⇔	$\Leftrightarrow$
↔\leftrightarrow↔	$\leftrightarrow$
¬\neg¬	$\neg$

→R2→R2−R1Substractrow1fromrow2(A3)\xrightarrow[R_2\, \rightarrow R_2\,-R_1 ]{Substract \,row \,1 \,from \,row \,2} (A_3)Substractrow1fromrow2R2​→R2​−R1​​(A3​)

A→下方文字上方文字BA\xrightarrow[下方文字 ]{上方文字} BA上方文字下方文字​B

1.

(12)

p:4是2的倍数 q:4是3的倍数

原命题⇔\Leftrightarrow⇔p∨\vee∨q

是复合命题

(16)

是简单命题

(18)

p:4是素数

Γ\GammaΓp是复合命题

4.

(1)

p:今天是1号 q:明天是2号

原命题⇔\Leftrightarrow⇔p→\rightarrow→q

1. p为真，q也为真

   p→\rightarrow→q为真

2. p为假，q也为假

   p→\rightarrow→q为真，p→\rightarrow→q为重言式

(2)

p:今天是1号 q:明天是3号

原命题⇔\Leftrightarrow⇔p→\rightarrow→q

1. p为真，则q为假

   则p→\rightarrow→q为假

2. p为假则

   q无论真假，p→\rightarrow→q都为真

5

(1)

p:王威为100米冠军 q:王威为200米冠军

p∧\wedge∧q

(3)

p:天气冷 q:老王来了

p∧\wedge∧q

(6)

p:天下雨 q：他乘车上学

p↔\leftrightarrow↔q 或 (p∧\wedge∧q)∧\wedge∧(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)

(8)

p:经一事 q:长一智

¬\neg¬p→\rightarrow→¬\neg¬q

6

(1)p∨\vee∨(q∧\wedge∧r)

q∧\wedge∧r=0

p∨\vee∨(q∧\wedge∧r)=0

(2)(p↔\leftrightarrow↔q)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨s)

p↔\leftrightarrow↔q=0

(p↔\leftrightarrow↔q)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨s)=0

(3)(p∧\wedge∧(q∨\vee∨s))→\rightarrow→((p∨\vee∨q)∧\wedge∧(r∧\wedge∧s))

q∨\vee∨s=1

p∧\wedge∧(q∨\vee∨s)=0

蕴含式前件为0，整个公式真值为1

(4)¬\neg¬(p∨\vee∨(q→\rightarrow→(¬\neg¬p∧\wedge∧r)))→\rightarrow→(r∨\vee∨¬\neg¬s)

q真值为0

q→\rightarrow→(¬\neg¬p∧\wedge∧r)=1

p∨\vee∨(q→\rightarrow→(¬\neg¬p∧\wedge∧r)=1

¬\neg¬(p∨\vee∨(q→\rightarrow→(¬\neg¬p∧\wedge∧r)))=0

¬\neg¬(p∨\vee∨(q→\rightarrow→(¬\neg¬p∧\wedge∧r)))→\rightarrow→(r∨\vee∨¬\neg¬s)=1

(5)(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)→\rightarrow→(r∧\wedge∧s)

¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q=1

r∧\wedge∧s=1

(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)→\rightarrow→(r∧\wedge∧s)=1

7

(2)

p：那房子有三室一厅 q:面积在100m2m^2m2以上 r:老王要房子

符号化原命题：p∧\wedge∧q→\rightarrow→r

p q r	p∧\wedge∧q	p∧\wedge∧q→\rightarrow→r
0 0 0	0	1
0 0 1	0	1
0 1 0	0	1
0 1 1	0	1
1 0 0	0	1
1 0 1	0	1
1 1 0	1	0
1 1 1	1	1

由真值表可知，除了在房子有三室一厅且面积在100m2m^2m2 以上，老王不要房子，其余情况命题为真

9

(2)((p→\rightarrow→q)∧\wedge∧(q→\rightarrow→p))↔\leftrightarrow↔(p↔\leftrightarrow↔q)

(p↔\leftrightarrow↔q)↔\leftrightarrow↔(p↔\leftrightarrow↔q) (等值等价式)

为重言式

10

(3)

¬\neg¬(p↔\leftrightarrow↔q)⇔\Leftrightarrow⇔((p∨\vee∨q)∧\wedge∧¬\neg¬(p∧\wedge∧q))

(p∨\vee∨q)∧\wedge∧¬\neg¬(p∧\wedge∧q)

⇔\Leftrightarrow⇔ ¬\neg¬(¬\neg¬(p∨\vee∨q)∨\vee∨¬\neg¬¬\neg¬(p∧\wedge∧q)) (德摩根律)

⇔\Leftrightarrow⇔ ¬\neg¬(¬\neg¬(p∨\vee∨q)∨\vee∨(p∧\wedge∧q)) (双重否定律)

⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬(((¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)∨\vee∨p)∧\wedge∧((¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)∨\vee∨q))) (德摩根律+分配律)

⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬(((¬\neg¬p∨\vee∨p)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨p))∧\wedge∧((¬\neg¬p∨\vee∨q)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨q))) (分配律)

⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬((1∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨p))∧\wedge∧((¬\neg¬p∨\vee∨q)$\wedge$1))) (排中律)

⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬((¬\neg¬q∨\vee∨p)∧\wedge∧(¬\neg¬p∨\vee∨q)) (同一律)

⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬((q→\rightarrow→p)∧\wedge∧(p→\rightarrow→ q)) (蕴含等值式)

⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬(p↔\leftrightarrow↔q) (等价等值式)

11

(1)

已知A∨\vee∨C⇔\Leftrightarrow⇔B∨\vee∨C

则A∨\vee∨C↔\leftrightarrow↔B∨\vee∨C为重言式

若 (A∨\vee∨C↔\leftrightarrow↔B∨\vee∨C)↔\leftrightarrow↔(A↔\leftrightarrow↔B)成立

则A↔\leftrightarrow↔B为重言式，则A⇔\Leftrightarrow⇔B成立

A∨\vee∨C↔\leftrightarrow↔B∨\vee∨C

⇔\Leftrightarrow⇔((A∨\vee∨C)→\rightarrow→(B∨\vee∨C))∧\wedge∧((B∨\vee∨C)→\rightarrow→(A∨\vee∨C)) 等价等值式

⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬(A∨\vee∨C)∨\vee∨(B∨\vee∨C))∧\wedge∧(¬\neg¬(B∨\vee∨C)∨\vee∨(A∨\vee∨C)) 蕴含等值式

⇔\Leftrightarrow⇔((¬\neg¬A∧\wedge∧¬\neg¬C)∨\vee∨(B∨\vee∨C))∧\wedge∧((¬\neg¬B∧\wedge∧¬\neg¬C)∨\vee∨(A∨\vee∨C)) 德摩根律

⇔\Leftrightarrow⇔(((B∨\vee∨C)∨\vee∨¬\neg¬A)∧\wedge∧((B∨\vee∨C)∨\vee∨¬\neg¬C))∧\wedge∧(((A∨\vee∨C)∨\vee∨¬\neg¬B)∧\wedge∧((A∨\vee∨C)∨\vee∨¬\neg¬C)) 分配律

⇔\Leftrightarrow⇔(B∨\vee∨C∨\vee∨¬\neg¬A)∧\wedge∧(B$\vee1)1)1)\wedge(A(A(A\veeCCC\vee$¬\neg¬B)∧\wedge∧(A$\vee$1) 排中律

⇔\Leftrightarrow⇔ (B∨\vee∨C∨\vee∨¬\neg¬A)∧\wedge∧(A∨\vee∨C∨\vee∨¬\neg¬B) 同一律

⇔\Leftrightarrow⇔C∨\vee∨((B∨\vee∨¬\neg¬A)∧\wedge∧(A∨\vee∨¬\neg¬B)) 分配律

⇔\Leftrightarrow⇔C∨\vee∨((A→\rightarrow→B)∧\wedge∧(B→\rightarrow→A)) 蕴含等值式

⇔\Leftrightarrow⇔C∨\vee∨(A↔\leftrightarrow↔B) 等价等值式

与A↔\leftrightarrow↔B不等值

A⇔\Leftrightarrow⇔B不一定成立

(3)

已知¬\neg¬A⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬B

则¬\neg¬A↔\leftrightarrow↔¬\neg¬B为重言式

¬\neg¬A↔\leftrightarrow↔¬\neg¬B

⇔\Leftrightarrow⇔A↔\leftrightarrow↔B

故A↔\leftrightarrow↔B也为重言式

A⇔\Leftrightarrow⇔B成立

13

(2)(p→\rightarrow→(q∧\wedge∧¬\neg¬p))∧\wedge∧¬\neg¬r∧\wedge∧q

⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∨\vee∨(q∧\wedge∧¬\neg¬p))∧\wedge∧¬\neg¬r∧\wedge∧q (蕴含等值式)

⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬(p∧\wedge∧¬\neg¬(q∧\wedge∧¬\neg¬p))∧\wedge∧¬\neg¬r∧\wedge∧q (德摩根式)

17

(3)(p∨\vee∨(q∧\wedge∧r))→\rightarrow→(p∨\vee∨q∨\vee∨r)

⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬(p∨\vee∨(q∧\wedge∧r))∨\vee∨(p∨\vee∨q∨\vee∨r) (蕴含等值式)

⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨¬\neg¬r))∨\vee∨p∨\vee∨q∨\vee∨r (两次德摩根式)

⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨p∨\vee∨q∨\vee∨r (分配律)

⇔\Leftrightarrow⇔((¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)∧\wedge∧(r∨\vee∨¬\neg¬r))∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨p∨\vee∨q∨\vee∨r (排中律)

⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨p∨\vee∨q∨\vee∨r (分配律)

⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨p∨\vee∨q∨\vee∨r

⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(p∧\wedge∧q)∨\vee∨(p∧\wedge∧¬\neg¬q)∨\vee∨(p∧\wedge∧q)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q)∨\vee∨(q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧r)

⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(p∧\wedge∧q∧\wedge∧r)∨\vee∨(p∧\wedge∧q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(p∧\wedge∧q∧\wedge∧r)∨\vee∨(p∧\wedge∧q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(p∧\wedge∧q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧r)∨\vee∨(p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)

⇔\Leftrightarrow⇔m001_{001}001​∨\vee∨m000_{000}000​∨\vee∨m010_{010}010​∨\vee∨m000_{000}000​∨\vee∨m111_{111}111​∨\vee∨m110_{110}110​∨\vee∨m101_{101}101​∨\vee∨m100_{100}100​∨\vee∨m111_{111}111​∨\vee∨m110_{110}110​∨\vee∨m011_{011}011​∨\vee∨m010_{010}010​∨\vee∨m111_{111}111​∨\vee∨m011_{011}011​∨\vee∨m101_{101}101​∨\vee∨m001_{001}001​

⇔\Leftrightarrow⇔m1_11​ ∨\vee∨m0_00​∨\vee∨m2_22​∨\vee∨m0_00​∨\vee∨m7_77​∨\vee∨m6_66​∨\vee∨m5_55​∨\vee∨m4_44​∨\vee∨m7_77​∨\vee∨m6_66​∨\vee∨m3_33​∨\vee∨m2_22​∨\vee∨m7_77​∨\vee∨m3_33​∨\vee∨m5_55​∨\vee∨m1_11​

$\Leftrightarrow$1

成真赋值为 000 ,001, 010 ,011 ,100,101,110,111

19

(1)

p→\rightarrow→(q→\rightarrow→r)与q→\rightarrow→(p→\rightarrow→r)

1. p→\rightarrow→(q→\rightarrow→r)

   ⇔\Leftrightarrow⇔¬\neg¬p∨\vee∨(¬\neg¬q∨\vee∨r)

   ⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∧\wedge∧q)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)∨\vee∨(p∧\wedge∧¬\neg¬q)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q)∨\vee∨(q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧r)

   ⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(p∧\wedge∧¬\neg¬q¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(p∧\wedge∧q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧q∧\wedge∧r)∨\vee∨(p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬q∧\wedge∧r)

   ⇔\Leftrightarrow⇔m011_{011}011​∨\vee∨m010_{010}010​∨\vee∨m001_{001}001​∨\vee∨m000_{000}000​∨\vee∨m101_{101}101​∨\vee∨m100_{100}100​∨\vee∨m001_{001}001​∨\vee∨m000_{000}000​∨\vee∨m111_{111}111​∨\vee∨m011_{011}011​∨\vee∨m101_{101}101​∨\vee∨m001_{001}001​

   ⇔\Leftrightarrow⇔m3_33​∨\vee∨m2_22​∨\vee∨m1_11​∨\vee∨m0_00​∨\vee∨m5_55​∨\vee∨m4_44​∨\vee∨m1_11​∨\vee∨m0_00​∨\vee∨m7_77​∨\vee∨m3_33​∨\vee∨m5_55​∨\vee∨m1_11​

   ⇔\Leftrightarrow⇔m7_77​m5_55​∨\vee∨m4_44​∨\vee∨m3_33​∨\vee∨m2_22​∨\vee∨m1_11​∨\vee∨m0_00​

2. q→\rightarrow→(p→\rightarrow→r)

   ⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬q∧\wedge∧p∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧p∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬p∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(q∧\wedge∧¬\neg¬p∧\wedge∧r)∨\vee∨(q∧\wedge∧¬\neg¬p¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬p∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬p∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(q∧\wedge∧p∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧p∧\wedge∧r)∨\vee∨(q∧\wedge∧¬\neg¬p∧\wedge∧r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧¬\neg¬p∧\wedge∧r)

   ⇔\Leftrightarrow⇔ m101_{101}101​∨\vee∨m100_{100}100​∨\vee∨m001_{001}001​∨\vee∨m000_{000}000​∨\vee∨m011_{011}011​∨\vee∨m010_{010}010​∨\vee∨m001_{001}001​∨\vee∨m000_{000}000​∨\vee∨m111_{111}111​∨\vee∨m101_{101}101​∨\vee∨m011_{011}011​∨\vee∨m001_{001}001​

   ⇔\Leftrightarrow⇔m5_55​∨\vee∨m4_44​∨\vee∨m1_11​∨\vee∨m0_00​∨\vee∨m3_33​∨\vee∨m2_22​∨\vee∨m1_11​∨\vee∨m0_00​∨\vee∨m7_77​∨\vee∨m5_55​∨\vee∨m3_33​∨\vee∨m1_11​

   ⇔\Leftrightarrow⇔m7_77​m5_55​∨\vee∨m4_44​∨\vee∨m3_33​∨\vee∨m2_22​∨\vee∨m1_11​∨\vee∨m0_00​

等值

23

p:赵去 q:钱去 r:孙去 s:李去 t:周去

• p→\rightarrow→q
• s∨\vee∨t
• (q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧r)
• r↔\leftrightarrow↔s
• t→\rightarrow→(p∧\wedge∧q)

⇔\Leftrightarrow⇔(p→\rightarrow→q)∧\wedge∧(s∨\vee∨t)∧\wedge∧(r↔\leftrightarrow↔s)∧\wedge∧(t→\rightarrow→(p∧\wedge∧q))∧\wedge∧((q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧r))

⇔\Leftrightarrow⇔ (¬\neg¬p∨\vee∨q)∧\wedge∧ (s∨\vee∨t)∧\wedge∧(r→\rightarrow→s)∧\wedge∧(s→\rightarrow→r)∧\wedge∧( ¬\neg¬t∨\vee∨(p∧\wedge∧q))∧\wedge∧((q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧r)) (蕴含等值式 等价等值式 蕴含等值式)

⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∨\vee∨q)∧\wedge∧ (s∨\vee∨t)∧\wedge∧(¬\neg¬r∨\vee∨s)∧\wedge∧(¬\neg¬s∨\vee∨ r)∧\wedge∧( ¬\neg¬t∨\vee∨p)∧\wedge∧(¬\neg¬t∨\vee∨q)∧\wedge∧((q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨(¬\neg¬q∧\wedge∧r)) (蕴含等值式 分配律)

⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∨\vee∨q)∧\wedge∧ (s∨\vee∨t)∧\wedge∧(¬\neg¬r∨\vee∨s)∧\wedge∧(¬\neg¬s∨\vee∨ r)∧\wedge∧( ¬\neg¬t∨\vee∨p)∧\wedge∧(¬\neg¬t∨\vee∨q)∧\wedge∧ ((q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨¬\neg¬q)∧\wedge∧((q∧\wedge∧¬\neg¬r)∨\vee∨r) (分配律)

⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∨\vee∨q)∧\wedge∧ (s∨\vee∨t)∧\wedge∧(¬\neg¬r∨\vee∨s)∧\wedge∧(¬\neg¬s∨\vee∨ r)∧\wedge∧( ¬\neg¬t∨\vee∨p)∧\wedge∧(¬\neg¬t∨\vee∨q)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨q)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(r∨\vee∨q)∧\wedge∧(r∨\vee∨¬\neg¬r) (分配律)

⇔\Leftrightarrow⇔ (¬\neg¬p∨\vee∨q)∧\wedge∧ (s∨\vee∨t)∧\wedge∧(¬\neg¬r∨\vee∨s)∧\wedge∧(¬\neg¬s∨\vee∨ r)∧\wedge∧( ¬\neg¬t∨\vee∨p)∧\wedge∧(¬\neg¬t∨\vee∨q)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(r∨\vee∨q) (排中律)

1变8.。。。8*8=64个式子

24

(3)

p:今天是1号 q:明天是5号

前提：p→\rightarrow→q，¬\neg¬q

结论:¬\neg¬p

((p→\rightarrow→q)∧\wedge∧¬\neg¬q)⇒\Rightarrow⇒¬\neg¬p (拒取式)

推理正确

26

(1)归谬法

前提:¬\neg¬(p∧\wedge∧¬\neg¬q),¬\neg¬q∨\vee∨r,¬\neg¬r

结论:¬\neg¬p

¬\neg¬(p∧\wedge∧¬\neg¬q)∧\wedge∧ (¬\neg¬q∨\vee∨r)∧\wedge∧¬\neg¬r∧\wedge∧p

⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∨\vee∨q)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨r)∧\wedge∧¬\neg¬r∧\wedge∧p (德摩根律)

⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∨\vee∨q∨\vee∨r)∧\wedge∧(¬\neg¬p∨\vee∨q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(p∨\vee∨¬\neg¬q∨\vee∨r)∧\wedge∧(¬\neg¬p∨\vee∨¬\neg¬q∨\vee∨r)∧\wedge∧(q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(¬\neg¬q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(p∨\vee∨q)∧\wedge∧(p∨\vee∨¬\neg¬q)

⇔\Leftrightarrow⇔(¬\neg¬p∨\vee∨q∨\vee∨r)∧\wedge∧(¬\neg¬p∨\vee∨q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(p∨\vee∨¬\neg¬q∨\vee∨r)∧\wedge∧(¬\neg¬p∨\vee∨¬\neg¬q∨\vee∨r)∧\wedge∧(p∨\vee∨q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(¬\neg¬p∨\vee∨q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(p∨\vee∨¬\neg¬q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(¬\neg¬p∨\vee∨¬\neg¬q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(p∨\vee∨q∨\vee∨r)∧\wedge∧(p∨\vee∨q∨\vee∨¬\neg¬r)∧\wedge∧(p∨\vee∨¬\neg¬q∨\vee∨r)∧\wedge∧(p∨\vee∨¬\neg¬q∨\vee∨¬\neg¬r)

⇔\Leftrightarrow⇔m100_{100}100​∧\wedge∧m101_{101}101​∧\wedge∧m010_{010}010​∧\wedge∧m110_{110}110​∧\wedge∧m001_{001}001​∧\wedge∧m101_{101}101​∧\wedge∧m011_{011}011​∧\wedge∧m111_{111}111​∧\wedge∧m000_{000}000​∧\wedge∧m001_{001}001​∧\wedge∧m010_{010}010​∧\wedge∧m011_{011}011​

⇔\Leftrightarrow⇔m4_{4}4​∧\wedge∧m5_{5}5​∧\wedge∧m2_{2}2​∧\wedge∧m6_{6}6​∧\wedge∧m1_{1}1​∧\wedge∧m5_{5}5​∧\wedge∧m3_{3}3​∧\wedge∧m7_{7}7​∧\wedge∧m0_{0}0​∧\wedge∧m1_{1}1​∧\wedge∧m2_{2}2​∧\wedge∧m3_{3}3​

$\Leftrightarrow1故为矛盾式，于是证明了推理的正确性(2)附加前提证明法前提:p1 故为矛盾式，于是证明了推理的正确性 (2)附加前提证明法 前提:p1故为矛盾式，于是证明了推理的正确性(2)附加前提证明法前提:p\rightarrow(q(q(q\rightarrows),q,ps),q,ps),q,p\veeKaTeX parse error: Can't use function '$' in math mode at position 5: \neg$̲ r 结论：r$\righta…\negr(前提引入)r(附加前提引入)p(析取三段论)pr(前提引入) r (附加前提引入) p (析取三段论) pr(前提引入)r(附加前提引入)p(析取三段论)p\rightarrow(q(q(q\rightarrows)(前提引入)qs) (前提引入) qs)(前提引入)q\rightarrow$s (假言推理)
q (前提引入)
s (假言推理)

(3)附加前提证明法
前提:p→\rightarrow→q
结论:p→\rightarrow→(p∧\wedge∧q)
p→\rightarrow→q (前提引入)
p (附加前提引入)
q (假言推理)
q∧\wedge∧p

27

p:他是理科生 q:他学好数学 r:他是文科生
前提:p→\rightarrow→q,¬\neg¬r→\rightarrow→p,¬\neg¬q
结论:p
p→\rightarrow→q (前提引入)
¬\neg¬q (前提引入)
¬\neg¬p (拒取式)
¬\neg¬r→\rightarrow→p (前提引入)
¬\neg¬¬\neg¬r (拒取式)

第二章 一阶逻辑

1.

(4)每列火车都比某些汽车要快

F(x):x 是火车 G(x):x是汽车 H(x,y):x比y快

∀\forall∀x(F(x)→\rightarrow→ ∃\exists∃y(G(y)∧\wedge∧H(x,y)))

(5)某些汽车比所有火车都慢

F(x):x 是火车 G(x):x是汽车 H(x,y):x比y慢

∃\exists∃x(G(x)∧\wedge∧∀\forall∀y(F(y)→\rightarrow→H(x,y)))

(6)每位父亲都喜爱自己的孩子

F(x):x是父亲 G(x):x是孩子 H(x,y):x喜爱y L(x,y):y是x的孩子

∀\forall∀x∀\forall∀y(F(x)∧\wedge∧G(y)∧\wedge∧L(x,y)→\rightarrow→H(x,y))

(7)对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数

F(x):x是实数 G(x,y):x>y

∀\forall∀x(F(x)∧\wedge∧G(x,0)→\rightarrow→∃\exists∃y(F(y)∧\wedge∧(y,x)))

课本例题2.5

(1)所有的兔子比所有的乌龟跑得快

F(x):x是兔子 G(x):x是乌龟 H(x,y):x比y跑的快

∀\forall∀x∀\forall∀y(F(x)∧\wedge∧G(y)→\rightarrow→H(x,y))

(2)有的兔子比所有的乌龟跑得快

∃\exists∃x(F(x)∧\wedge∧∀\forall∀y(G(y)→\rightarrow→H(x,y)))

(3)不存在同样高的两个人

F(x):x是人 G(x,y):x y同样高 H(x,y):x!=y

∀\forall∀x∀\forall∀y(F(x)∧\wedge∧F(y)∧\wedge∧H(x,y)→\rightarrow→ ¬\neg¬G(x,y))

2.

(4)∀\forall∀x∀\forall∀y∃\exists∃z(x-y=z)

对于任意的x,y，存在z，可满足x-y=z成立

为真

(8)∃\exists∃x∀\forall∀y(x+y=2y)

有的x等于任意的y

3.

(3)F(z)→\rightarrow→(¬\neg¬∀\forall∀x∀\forall∀yG(x,y,z))

指导变项为x,y

G(x,y,z)中的x是约束的

G(x,y,z)中的y是约束的

F(z)和G(x,y,z)中的z是自由的

6.

给定解释I如下:

个体域D={2,3},f(2)=3,f(3)=2,F(2,2)=0,F(2,3)=0,F(3,2)=1,F(3,3)=1

求下列各式在I下的真值

∀\forall∀x∀\forall∀y(F(x,y)→\rightarrow→F(f(x),f(y)))

x=2,y=2时,F(2,2)=0，蕴含式前件为假，整体为真

x=2,y=3时,同理为真

x=3,y=2时，F(3,2)=1, f(x)=2,f(y)=3,F(f(x),f(y))=F(2,3)=0 为假

故∀\forall∀x∀\forall∀y(F(x,y)→\rightarrow→F(f(x),f(y)))为假

9.

设个体域D={a,b,c}，消去下列各式中的量词

在有限个体域时中消去量词等值式

(2)∀\forall∀x(F(x)∧\wedge∧∃\exists∃yG(y))

⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀xF(x)∧\wedge∧∃\exists∃yG(y) (∃\exists∃yG(y)中不含约束变项x)

⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀xF(x)∧\wedge∧(G(a)∨\vee∨G(b)∨\vee∨G©) (存在量词的消去量词等值式)

⇔\Leftrightarrow⇔ (F(a)∧\wedge∧F(b)∧\wedge∧F©)∧\wedge∧(G(a)∨\vee∨G(b)∨\vee∨G©) (全称量词的消去量词等值式)

(4)∃\exists∃x∃\exists∃y(F(x)→\rightarrow→G(y))

⇔\Leftrightarrow⇔ ∃\exists∃x∃\exists∃y(¬\neg¬F(x)∨\vee∨G(y)) (蕴含等值式)

⇔\Leftrightarrow⇔ ∃\exists∃x(¬\neg¬F(x)∨\vee∨ ∃\exists∃yG(y)) (¬\neg¬F(x)中不含约束变项y)

⇔\Leftrightarrow⇔ ∃\exists∃x¬\neg¬F(x)∨\vee∨ ∃\exists∃yG(y) (∃\exists∃yG(y)中不含约束变项x)

⇔\Leftrightarrow⇔ ¬\neg¬ ∀\forall∀xF(x)∨\vee∨ ∃\exists∃yG(y) (量词否定等值式)

⇔\Leftrightarrow⇔ ¬\neg¬(F(a)∧\wedge∧F(b)∧\wedge∧f©)∨\vee∨(G(a)∨\vee∨G(b)∨\vee∨G©) (消去量词等值式)

10.

给出下列公式的类型

(4)¬\neg¬F(x)→\rightarrow→(F(x)→\rightarrow→∀\forall∀yG(x,y))

p=F(x) q=∀\forall∀yG(x,y)

运用代换实例可转换为

⇔\Leftrightarrow⇔ ¬\neg¬p→\rightarrow→(p→\rightarrow→q)

⇔\Leftrightarrow⇔ ¬\neg¬p→\rightarrow→(¬\neg¬p∨\vee∨q)

⇔\Leftrightarrow⇔p∨\vee∨¬\neg¬p∨\vee∨q

⇔\Leftrightarrow⇔ 1

12.

证明F(x)→\rightarrow→∀\forall∀xF(x)不是永真式

个体域为1,2,3

F(x):x为奇数

⇔\Leftrightarrow⇔ F(x)→\rightarrow→(F(1)∧\wedge∧F(2)∧\wedge∧F(3)) (量词消去等值式)

当x=1时，蕴含式前件为真，后件为假

公式为假，故不是永真式

13.

求下列各式的前束范式

(1)(¬\neg¬ ∃\exists∃xF(x)∨\vee∨ ∀\forall∀yG(y)) ∧\wedge∧ ∀\forall∀zH(z)

⇔\Leftrightarrow⇔ (∀\forall∀x¬\neg¬F(x)∨\vee∨∀\forall∀yG(y))∧\wedge∧∀\forall∀zH(z)

⇔\Leftrightarrow⇔ (∀\forall∀x(¬\neg¬F(x)∨\vee∨∀\forall∀yG(y)))∧\wedge∧ ∀\forall∀zH(z) (辖域扩张)

⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x∀\forall∀y(¬\neg¬F(x)∨\vee∨G(y))∧\wedge∧∀\forall∀zH(z) (辖域扩张)

⇔\Leftrightarrow⇔∀\forall∀z (∀\forall∀x∀\forall∀y(¬\neg¬F(x)∨\vee∨G(y))∧\wedge∧H(z)) (辖域扩张)

⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀z ∀\forall∀x(∀\forall∀y(¬\neg¬F(x)∨\vee∨G(y)∧\wedge∧H(z)) (辖域扩张)

⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀z ∀\forall∀x∀\forall∀y((¬\neg¬F(x)∨\vee∨G(y))∧\wedge∧H(z)) (辖域扩张)

(2)∃\exists∃xF(x)∨\vee∨ ∀\forall∀xG(x)→\rightarrow→∀\forall∀x∃\exists∃yH(x,y)

∃\exists∃xF(x)∨\vee∨ ∀\forall∀zG(z)→\rightarrow→∀\forall∀m∃\exists∃yH(m,y) (换名规则)

⇔\Leftrightarrow⇔ ∃\exists∃x∃\exists∃z(G(z)∨\vee∨F(x))→\rightarrow→ ∀\forall∀m∃\exists∃yH(m,y) (两次辖域扩张)

⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x(∃\exists∃z(G(z)∨\vee∨F(x))→\rightarrow→∀\forall∀m∃\exists∃yH(m,y))

⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x ∀\forall∀y(G(z)∨\vee∨F(x)→\rightarrow→∀\forall∀m∃\exists∃yH(m,y))

⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x ∀\forall∀y(¬\neg¬ ∀\forall∀m∃\exists∃yH(m,y)→\rightarrow→¬\neg¬(G(z)∨\vee∨F(x))) (假言易位)

⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x ∀\forall∀y(∃\exists∃m¬\neg¬∃\exists∃yH(m,y)→\rightarrow→¬\neg¬(G(z)∨\vee∨F(x)))

⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x ∀\forall∀y(∃\exists∃m∀\forall∀ y¬\neg¬ H(m,y)→\rightarrow→¬\neg¬(G(z)∨\vee∨F(x))) (量词否定等值式)

⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x∀\forall∀y∀\forall∀m∃\exists∃y(¬\neg¬H(m,y)→\rightarrow→ ¬\neg¬(G(z)∨\vee∨F(x))) (两次辖域扩张)

⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x∀\forall∀y∀\forall∀m∃\exists∃y(G(z)∨\vee∨F(x)→\rightarrow→H(m,y)) (假言易位)

一阶逻辑推理理论

12.

指出下面推理中的错误

(6)

5.使F(x)∧\wedge∧G(x)成真的x不一定使H(x)∧\wedge∧R(x)成真

13.

(1)

前提:∃\exists∃xF(x)→\rightarrow→∀\forall∀y((F(y)∨\vee∨G(y))→\rightarrow→R(y)), ∃\exists∃xF(x)

结论:∃\exists∃xR(x)

(1) ∃\exists∃xF(x) (前提引入)

(2)F© (EI规则)

(3)∃\exists∃xF(x)→\rightarrow→∀\forall∀y((F(y)∨\vee∨G(y))→\rightarrow→R(y)) (前提引入)

(4)∀\forall∀y((F(y)∨\vee∨G(y))→\rightarrow→R(y)) (假言推理)

(5)F©∨\vee∨G©→\rightarrow→R© (UI规则)

(6)F©∨\vee∨ G© (2附加)

(7)R© (5假言推理)

(8)∃\exists∃xF(x) (EG规则)

15.

每个在银行存款的人都能得到利息，所以，若没有人得到利息，则没有人在银行存款

F(x):x在银行存款 G(x):x得到利息

前提: ∀\forall∀x(F(x)→\rightarrow→G(x))

结论:¬\neg¬∀\forall∀xG(x)→\rightarrow→¬\neg¬∀\forall∀xF(x)

(1)¬\neg¬∀\forall∀xG(x) (附加前提引入)

(2)∃\exists∃x¬\neg¬G(x) (量词否定等值式)

(3)¬\neg¬G© (EI规则)

(4)∀\forall∀x(F(x)→\rightarrow→G(x)) (前提引入)

(5) ∀\forall∀x(¬\neg¬G(x)→\rightarrow→¬\neg¬F(x)) (假言易位)

(6)¬\neg¬G©→\rightarrow→ ¬\neg¬F© (UI规则)

(7)¬\neg¬ F© (假言推理)

(8)∃\exists∃x¬\neg¬F(x) (EG规则)

(9)¬\neg¬ ∀\forall∀xF(x) (量词否定等值式)

第三章 集合

2

(2)S2S_2S2​={2,5}

4

(2)P(A)={{∅\emptyset∅}{1},{{2,3}},{1,{2,3}}

7

（2） ((A∪\cup∪B∪\cup∪C)-(B∪\cup∪C))∪\cup∪A
= ((A∪\cup∪B∪\cup∪C)∩\cap∩~(B∪\cup∪C))∪\cup∪A

=(A∪\cup∪B∪\cup∪C∪\cup∪A)∩\cap∩((~B ∩\cap∩~ C)∪\cup∪A)

=(A∪\cup∪B∪\cup∪C)∩\cap∩((~B∪\cup∪A)∩\cap∩( ~C∪\cup∪A))

=(A∪\cup∪((B∪\cup∪C)∩\cap∩~B))∩\cap∩( ~C∪\cup∪A)

=(A∪\cup∪((B∩\cap∩~B)∪\cup∪(C∩\cap∩ ~B)))∩\cap∩( ~C∪\cup∪A)

=(A∪\cup∪(C∩\cap∩~B))∩\cap∩( ~C∪\cup∪A)

=A∪\cup∪((C∩\cap∩~B)∩\cap∩ ~C)

=A

8

(3)A∩\cap∩(~B∪\cup∪C)

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-TqL7GdUx-1678010764001)(课外学习资料/所需图片/QQ截图20221014232149.png)]

10

A={x|读《每周新闻》的人} B={x|读《时代》杂志的人} C={x|读《幸运》杂志的人}

E={x|所有被调查的人}

已知:

|E|=60;|A|=25;|B|=26;|C|=26;|A∩\cap∩C|=9;|A∩\cap∩B|=11;|B∩\cap∩C|=8；|E-(A∪\cup∪B∪\cup∪C)|=8;

(1)求全部阅读三种杂志的人：|A∩\cap∩B∩\cap∩C|

已知:|A∪\cup∪B∪\cup∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩\cap∩B|-|A∩\cap∩C|-|B∩\cap∩C|+|A∪\cup∪B∪\cup∪C|=25+26+26-9-11-8+|A∩\cap∩B∩\cap∩C|=60-8

|A∩\cap∩B∩\cap∩C|=3

(2)求仅阅读…的人数

|A-B-C|=|A∩\cap∩~B∩\cap∩ ~C|=|A∩\cap∩(E-(B∪\cup∪C))|=|(A∩\cap∩E)-(A∩\cap∩(B∪\cup∪C))|=|A-(A∩\cap∩B)∪\cup∪(A∩\cap∩C)|=|A|-|(A∩\cap∩B)∪\cup∪(A∩\cap∩C))|=|A|-(|A∩\cap∩B|+|A∩\cap∩C|-|A∩\cap∩B∩\cap∩A∩\cap∩C|)=25-(11+9-3)=8

同理

|B-A-C|=|B|-(|A∩\cap∩B|+|B∩\cap∩C|-|A∩\cap∩B∩\cap∩C|)=26-(11+8-3)=10

|C-B-A|=|C|-(|A∩\cap∩C|+|B∩\cap∩C|-|A∩\cap∩B∩\cap∩C|)=26-(9+8-3)=12

12

(2)证明:(A-B)-C=(A-C)-(B-C)

1. 公式法

   =(A∩\cap∩~C)∩\cap∩ ~(B∩\cap∩ ~C)

   =(A∩\cap∩~C)∩\cap∩( ~B∪\cup∪C) (德摩根律)

   =((A∩\cap∩~C)∩\cap∩C)∪\cup∪((A∩\cap∩ ~C)∩\cap∩ ~B) (∪\cup∪ ∩\cap∩ 的分配律)

   =∅\emptyset∅ ∪\cup∪((A∩\cap∩ ~C)∩\cap∩ ~B) (零律)

   =(A∩\cap∩ ~B∩\cap∩ ~C)

   =(A-B)-C

2. 基本定义法

   x∈\in∈ (A-C) ∧\wedge∧ x∉\notin∈/(B-C)

   ⇔\Leftrightarrow⇔ x∈\in∈A∧\wedge∧x∉\notin∈/C∧\wedge∧ ¬\neg¬ (x∈\in∈B∧\wedge∧x∉\notin∈/C)

   ⇔\Leftrightarrow⇔ x∈\in∈A∧\wedge∧x∉\notin∈/C∧\wedge∧ (x∉\notin∈/B∨\vee∨ x∈\in∈C) (德摩根律)

   ⇔\Leftrightarrow⇔ (x∈\in∈A∧\wedge∧ x∉\notin∈/C∧\wedge∧ x∉\notin∈/B)∨\vee∨(x∈\in∈A∧\wedge∧ x∉\notin∈/C∧\wedge∧x∈\in∈C) (∨\vee∨ ∧\wedge∧ 的分配律)

   ⇔\Leftrightarrow⇔ (x∈\in∈A∧\wedge∧ x∉\notin∈/C∧\wedge∧ x∉\notin∈/B)∨\vee∨ ∅\emptyset∅ (零律)

   ⇔\Leftrightarrow⇔ (x∈\in∈A∧\wedge∧ x∉\notin∈/B)∧\wedge∧x∉\notin∈/C (∧\wedge∧ 的结合律)

   ⇔\Leftrightarrow⇔ x∈\in∈(A∩\cap∩ ~B)∧\wedge∧ x∉\notin∈/C

   ⇔\Leftrightarrow⇔ x∈\in∈((A∩\cap∩~B)∩\cap∩ ~C)

   ⇔\Leftrightarrow⇔ x属于(A-B)-C

13.

证明：C⊆\subseteq⊆A∧\wedge∧ C⊆\subseteq⊆B ⇔\Leftrightarrow⇔ C⊆\subseteq⊆A∩\cap∩ B

∀\forall∀ x(x∈\in∈C→\rightarrow→x∈\in∈A)∧\wedge∧ ∀\forall∀x(x∈\in∈C→\rightarrow→x∈\in∈B) (根据基本定义)

⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x((x∈\in∈C→\rightarrow→x∈\in∈A)∧\wedge∧(x∈\in∈C→\rightarrow→x∈\in∈B)) (量词分配等值式)

⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x((¬\neg¬x∈\in∈C∨\vee∨x∈\in∈A)∧\wedge∧ (¬\neg¬ x∈\in∈C∨\vee∨x∈\in∈B)) (蕴含等值式)

⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x(¬\neg¬x∈\in∈C∨\vee∨(x∈\in∈ A∧\wedge∧x∈\in∈B)) (∨\vee∨ ∧\wedge∧ 的分配律)

⇔\Leftrightarrow⇔∀\forall∀x(¬\neg¬x∈\in∈C∨\vee∨x∈\in∈(A∩\cap∩B)) (交集的基本定义)

⇔\Leftrightarrow⇔ ∀\forall∀x(x∈\in∈C→\rightarrow→x∈\in∈(A∩\cap∩B)) (蕴含等值式)

⇔\Leftrightarrow⇔ C⊆\subseteq⊆ (A∩\cap∩B) (子集的基本定义)