本文是对之前文章“Reeds-Shepp曲线学习笔记及相关思考【点击可跳转】”的补充，因小伙伴的提问，本文补充介绍上述文章第三部分中基础运动公式的推导过程。

   本文以上面的第一个公式为例进行介绍，即Reeds-Shepp曲线基础运动中的向前左转运动，其他五个可根据第一个的过程，以此类推。

   现假设机器人位于S点处横纵坐标分别为x、y，与x轴夹角为ψ，因此，机器人在S点的状态可以表示为（x，y，ψ），执行L+基础运动前行左转弧长t后，到达G点。求机器人在G点的状态,根据第一个公式可得G点的状态如下：。

   G：(x+sin⁡(ψ+t)−sin⁡(ψ),y−cos⁡(ψ+t)+cos⁡(ψ),ψ+t)G：\left(x+\sin(\psi+t)-\sin(\psi),y-\cos(\psi+t)+\cos(\psi),\psi+t\right)G：(x+sin(ψ+t)−sin(ψ),y−cos(ψ+t)+cos(ψ),ψ+t)

   现在我们来推导一下这个结果是怎么来的，为方便理解，我绘制了以下示意图，图中大写字母是为了方便对图中的边和角进行描述，图中的小写字母是角度。

   G点的第三个状态是与x轴的夹角，执行L+运动之前为ψ， 由于是向前左转，也就是逆时针运动，逆时针运动为正，又因为L+运动向前左转了弧长t，在之前的文章“Reeds-Shepp曲线学习笔记及相关思考【点击可跳转】”中已介绍过计算时会将最小转弯半径归一化为1，即上图中边FG和边FS的长度为1，弧长=弧长圆心角x半径，所以弧长t也对应转过的弧度制角度，因此G点与x轴的夹角为ψ+t

   接下来介绍稍微复杂一点的前两个状态的推导过程，由上图容易知道，G点的横纵坐标xg、ygx_g、y_gxg​、yg​满足下式：

   xg=x+GS∗cos ∠GSAyg=y+GS∗sin ∠GSA;x_g=x+GS*\text{cos ∠GSA} \hspace{1cm} y_g=y+GS*\text{sin ∠GSA} ; xg​=x+GS∗cos ∠GSAyg​=y+GS∗sin ∠GSA;

   所以我们只要求得边GS的长度和∠GSA即可求得xg、ygx_g、y_gxg​、yg​

   我们先来求边GS，现在我们已知∠GFS=t，边GF=边FS=1，由余弦公式c2=a2+b2−2abcos⁡γc^2=a^2+b^2-2ab\cos\gammac2=a2+b2−2abcosγ得，边GS的长度为：

   GS2=GF2+FS2−2∗GF∗FS∗cos ∠GFS=1+1−2∗cos t=2(1−cos t)GS^2=GF^2+FS^2-2*GF*FS*\text{cos ∠GFS}=1+1-2*\text{cos t}=2(1-\text{cos t})GS2=GF2+FS2−2∗GF∗FS∗cos ∠GFS=1+1−2∗cos t=2(1−cos t)

   由半角公式sin⁡α2=±1−cos⁡α2\sin\dfrac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{\dfrac{1-\cos\alpha}{2}}sin2α​=±21−cosα​​得，上式可化为：

   GS2=2(1−cos t)=4∗sin⁡2t2GS^2=2(1-\text{cos t})=4*\sin^{2}\frac{t}{2}GS2=2(1−cos t)=4∗sin22t​
   所以：

   GS=4∗sin⁡2t2=2∗sint2GS=\sqrt{4∗\sin^{2}\frac{t}{2}}=2*sin\frac{t}{2}GS=4∗sin22t​​=2∗sin2t​

   我们再来求∠GSA，过程如下：
   ∠GSC=（π–∠GCS）/ 2 = （π–（π–t））/ 2=t2\text{∠GSC=（π--∠GCS）/ 2 = （π--（π--t））/ 2}= \frac{t}{2}∠GSC=（π–∠GCS）/ 2 = （π–（π–t））/ 2=2t​

   ∠GSA=∠GSC+∠CSA=t2+ψ\text{∠GSA=∠GSC+∠CSA}= \frac{t}{2}+ψ∠GSA=∠GSC+∠CSA=2t​+ψ

   将求得的边GS和∠GSA带入，可得G点的横纵坐标xg、ygx_g、y_gxg​、yg​的表达式：

   xg=x+GS∗cos ∠GSA=x+2∗sint2∗cos⁡(t2+ψ)x_g=x+GS*\text{cos ∠GSA} =x+ 2*sin\frac{t}{2} *\cos \left(\frac{t}{2}+\psi\right) xg​=x+GS∗cos ∠GSA=x+2∗sin2t​∗cos(2t​+ψ)

   yg=y+GS∗sin ∠GSA=y+2∗sint2∗sin⁡(t2+ψ)y_g=y+GS*\text{sin ∠GSA}=y+ 2*sin\frac{t}{2} *\sin \left(\frac{t}{2}+\psi\right) yg​=y+GS∗sin ∠GSA=y+2∗sin2t​∗sin(2t​+ψ)

   最后再运用一下如下所示的积化和差公式：

   利用积化和差公式，我们可以对xg、ygx_g、y_gxg​、yg​的表达式进一步化简，如下：

   xg=x+2∗sint2∗cos⁡(t2+ψ)=x+sin(t2+t2+ψ)+sin(t2−t2−ψ)=x+sin(t+ψ)−sin(ψ)x_g=x+ 2*sin\frac{t}{2} *\cos \left(\frac{t}{2}+\psi\right)=x+sin(\frac{t}{2} +\frac{t}{2}+ψ)+sin(\frac{t}{2} -\frac{t}{2}-ψ)=x+sin(t+ψ)-sin(ψ)xg​=x+2∗sin2t​∗cos(2t​+ψ)=x+sin(2t​+2t​+ψ)+sin(2t​−2t​−ψ)=x+sin(t+ψ)−sin(ψ)

   yg=y+2∗sint2∗sin⁡(t2+ψ)=y+cos(t2−t2−ψ)−cos(t2+t2+ψ)=y−cos(t+ψ)+cos(ψ)y_g=y+ 2*sin\frac{t}{2} *\sin \left(\frac{t}{2}+\psi\right) =y+cos(\frac{t}{2} -\frac{t}{2}-ψ)-cos(\frac{t}{2} +\frac{t}{2}+ψ)=y-cos(t+ψ)+cos(ψ) yg​=y+2∗sin2t​∗sin(2t​+ψ)=y+cos(2t​−2t​−ψ)−cos(2t​+2t​+ψ)=y−cos(t+ψ)+cos(ψ)

   到这里，我们已经得到了推导前给出的G点的状态表达式：

   G：(x+sin⁡(ψ+t)−sin⁡(ψ),y−cos⁡(ψ+t)+cos⁡(ψ),ψ+t)G：\left(x+\sin(\psi+t)-\sin(\psi),y-\cos(\psi+t)+\cos(\psi),\psi+t\right)G：(x+sin(ψ+t)−sin(ψ),y−cos(ψ+t)+cos(ψ),ψ+t)

   也就是，文章开头处给出的第一个Reeds-Shepp曲线的基础运动公式：

   Lt+(x,y,ψ)=(x+sin⁡(ψ+t)−sin⁡(ψ),y−cos⁡(ψ+t)+cos⁡(ψ),ψ+t)L_t^+(x,y,\psi)\quad=\big(x+\sin(\psi+t)-\sin(\psi),y-\cos(\psi+t)+\cos(\psi),\psi+t\big)Lt+​(x,y,ψ)=(x+sin(ψ+t)−sin(ψ),y−cos(ψ+t)+cos(ψ),ψ+t)

   恭喜小伙伴们(✪ω✪)，到这里也就证明，或者说推导就完毕了，有兴趣的小伙伴，可以以此为例子，进行其余五个Reeds-Shepp曲线基础运动公式的推导(ง •_•)ง