解三角形练习题及答案

　　解三角形，是指已知三角形的几个元素求其他元素的过程。一般地，把三角形的.三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。一起看看下面的解三角形练习题及答案吧！

　　1．有关正弦定理的叙述：

　　①正弦定理仅适用于锐角三角形；②正弦定理不适用于直角三角形；③正弦定理仅适用于钝角三角形；④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值；⑤在△ABC中，sinAsinBsinC＝abc。

　　其中正确的个数是（ ）

　　A．1 B．2

　　C．3 D．4

　　解析 ①②③不正确，④⑤正确．

　　答案 B

　　2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝（ ）

　　A．43 B．23

　　C．3 D．32

　　解析 由正弦定理，得ACsinB＝BCsinA，即AC＝BCsinBsinA＝32×sin45°sin60°＝23。

　　答案 B

　　3．在△ABC中，已知b＝2，c＝1，B＝45°，则a等于（ ）

　　A．6－22 B．6＋22

　　C．2＋1 D．3－2

　　解析 由正弦定理，得sinC＝csinBb＝sin45°2＝12，又b>c，

　　∴C＝30°，从而A＝180°－（B＋C）＝105°，

　　∴a＝bsinAsinB，得a＝6＋22。

　　答案 B

　　4．在△ABC中，已知3b＝23asinB，cosB＝cosC，则△ABC的形状是（ ）

　　A．直角三角形 B．等腰三角形

　　C．等边三角形 D．等腰直角三角形

　　解析 利用正弦定理及第一个等式，可得sinA＝32，A＝π3，或2π3，但由第二个等式及B与C的范围，知B＝C，故△ABC必为等腰三角形．

　　答案 B

　　5．在△ABC中，若3a＝2bsinA，则B等于（ ）

　　A．30° B．60°

　　C．30°或150° D．60°或120°

　　解析 ∵3a＝2bsinA，

　　∴3sinA＝2sinBsinA。

　　∵sinA≠0，∴sinB＝32，

　　又0°

　　答案 D

　　6．在△ABC中，已知a：b：c＝4：3：5，则2sinA－sinBsinC＝________。

　　解析 设a＝4k，b＝3k，c＝5k（k>0），由正弦定理，得

　　2sinA－sinBsinC＝2×4k－3k5k＝1。

　　答案 1

　　7．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若A＝105°，B＝45°，b＝22，则边c＝________。

　　解析 由A＋B＋C＝180°，知C＝30°，

　　由csinC＝bsinB，得c＝bsinCsinB＝22×1222＝2。

　　答案 2

　　8．在△ABC中，若tanA＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝________。

　　解析 ∵tanA＝13，∴sinA＝110 。

　　在△ABC中，ABsinC＝BCsinA，

　　∴AB＝BCsinAsinC＝10×12＝102。

　　答案 102

　　9．在△ABC中，若A：B：C＝1：2：3，则abc＝________。

　　解析 由A＋B＋C＝180°及A：B：C＝1：2：3，知A＝180°×16＝30°，B＝180°×26＝60°，C＝180°×36＝90°。

　　∴a：b：c＝sin30°：sin60°：sin90°＝12：32：1＝1：3：2。

　　答案 1：3：2

　　10．如图，△ACD是等边三角形，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，BD交AC于E，AB＝2。

　　（1）求cos∠CBE的值；

　　（2）求AE。

　　解 （1）∵∠BCD＝90°＋60°＝150°，CB＝AC＝CD，

　　∴∠CBE＝15°。

　　∴cos∠CBE＝cos15°＝cos（45°－30°）＝6＋24。

　　（2）在△ABE中，AB＝2，

　　由正弦定理，得

　　AEsin45°－15°＝2sin90°＋15°，

　　故AE＝2sin30°sin75°＝2×126＋24＝6－2。

　　11．△ABC三边各不相等，角A，B，C的对边分别为a，b，c且acosA＝bcosB，求a＋bc的取值范围．

　　解 ∵acosA＝bcosB，∴sinAcosA＝sinBcosB，

　　∴sin2A＝sin2B。

　　∵2A，2B∈（0，2π），∴2A＝2B，或2A＋2B＝π，

　　∴A＝B，或A＋B＝π2。

　　如果A＝B，那么a＝b不合题意，∴A＋B＝π2。

　　∴a＋bc＝sinA＋sinBsinC＝sinA＋sinB＝sinA＋cosA

　　＝2sinA＋π4。

　　∵a≠b，C＝π2，∴A∈0，π2，且A≠π4，

　　∴a＋bc∈（1，2）．

　　12．在△ABC中，sin（C－A）＝1，sinB＝13。

　　（1）求sinA；

　　（2）设AC＝6，求△ABC的面积．

　　解 （1）∵sin（C－A）＝1，－π

　　∴C－A＝π2。

　　∵A＋B＋C＝π，∴A＋B＋A＋π2＝π，

　　∴B＝π2－2A，∴sinB＝sinπ2－2A＝cos2A＝13。

　　∴1－2sin2A＝13。

　　∴sin2A＝13，∴sinA＝33。

　　（2）由（1）知，A为锐角，∴cosA＝63，

　　sinC＝sinπ2＋A＝cosA＝63，

　　由正弦定理得AB＝ACsinCsinB＝66313＝6。

　　S△ABC＝12ABACsinA＝12×6×6×33＝32。