相似三角形判定定理的证明课件

第23章 图形的相似

第5节 相似三角形判定

WY

复习回顾

全等判定：

(对应)边角

(6组量) 判定方法 角边角 角角边 边边边

边角边

1.两角分别相等

三角分别

相等, 三2.三边成比例 3.两边成比例且

夹角相等

4.两边成比例且

其中一边的对角相等 边成比例

判定定理一： 两角分别相等的两个三角形相似。

证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。 ∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/

∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/，

∴ ∠ADE=∠B/，

又∵ ∠B/=∠B，

∴ ∠ADE=∠B，

∴ DE//BC，

∴ ΔADE∽ΔABC。 A A/ E

∴ ΔA/B/C/∽ΔABC B C B/ C/ 判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。可以简单说成：“有两个角对应相等的两个三角形相似。”

证明：在ΔABC的边AB、AC上，分别截取AD=A/B/,AE=A/C/，连结DE。

∵ AD=A/B/,∠A=∠A/，AE=A/C/ ∴ ΔA DE≌ΔA/B/C/， ∴ ∠ADE=∠B/， 又∵ ∠B/=∠B， ∴ ∠ADE=∠B， ∴ DE//BC， ∴ ΔADE∽ΔABC。

A

A/

E

∴ ΔA/B/C/∽ΔABC

B

C B/ C/

判定定

有两个角对应相等的两个

三角形相似。”

判定定理二：两边对应成比例且夹角相等的

两个 三角形相似.

判定定理三：三边成比例的两个三角形相似

?如图,△ ABC与△ A′B′C′相似吗? ?你用什么方法来支持你的判断?

AB?8 ,BC? ,AC?2 ;A?B??4,B?C??,A?C??2;

ABACBC2?????2.A?B?A?C?B?C?1

有一对 等角,找

另一对等角---用判定定理1 夹边成比例---用判定定理2 夹角相等----用判定定理2

有两边对应 边成比例,

第三边也成比例---用判定定理3

找

有一对直角---用直角三角形 相似的判定定理

B

D C B

D E

D C

C

B

B C

C

B

D

D

F

提示：易知?B1A1C1??B2A2C2

???90?45

由勾股定理得

A1B1?22，A1C1?4A2B2?2，A2C2?2

ABA2B2

??

ACA2C2

?△A1B1C1∽△A2B2C2

练习提高

思路分析： ∽ 先证明

先证明

上面的思路分析可以用一段顺口溜来表述：

证等积，化等比；

横找竖找定相似. 不相似，别着急； 等线等比来代替. ……

如何证明

△ABD∽△ACB

易知∠A是△ABD和△ACB 根据两角分别相等的 的.公共角，

两个三角形相似，只要再证明一对角相等即可。观察图形，猜想 ∠3=∠C ？

1

2

∠3=∠C

∠3=∠C ∠A= ∠A

△ABD∽△ACB

1

2

AC

?

AB

AB?AD?AC

AE=AB

AE2=AD·AC

2

①当∠1=∠C时

②当∠1=∠A时

（2）已知AD=3，BD=5，AE=4，求AC的长 两角分别相等的两个三角形相似（2） ∵△ADE∽△ACB （已证）

ADAE??ACAB

34??，解得：ACAC3?5

?6

2）已知AD=5，BD=2， 求AC的长

两角分别相等的两个三角形相似（2） ∵△ACD∽△ABC （已证）

ACAD

??ABAC

AC5??解得：AC??35(负值舍去)5?2AC

相似三角形的常见类型