由拉格朗日中值定理知，函数在定义域内取两点x1，x（2不妨设x1

有f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)，

那么若f'(x)恒为0，则有f'(ξ)=0，所以f(x2)=f(x1)，由x1，x2的任意性可知，f(x)在定义域内函数值恒等。即有下面一个推论：

推论：如果函数f(x)在开区间I内的导数恒为零，那么f(x)在I内是一个常数，利用这个推论可以证明一类反三角恒等式的题目。

例3证明arctgx-1arccos2x=π(x≥1)恒等。

证明：令φ(x)=arctgx-12arccos2x1+x2(x≥1)，在(x≥1)时arccos2x1+x

2有意义，且φ'(x)=112(1+x2

)-2x·2x+1姨

δ

=1+11-2x1+x22

2(1-x)=0∴在x>1时，φ(x)=c（常数）。又取(1,+∞)内任一点，如姨，有φ(姨)=π-1π=π，且φ(1)=π-0=π，所以端点值也成立，由推论有arctgx-12arccos2x1+x2=π4

(x≥1)恒等。４．证明等式

用拉格朗日中值定理证明等式也是它的应用中很重要的一项。证明

的目标在于凑出形式类似于拉格朗日中值定理的`式子，寻找机会应用。

例4设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证埚ξ,η∈

(a,b)，使得eη-ξ

[f(η)+f'(η)]=1。

证明：令F(x)=exf(x)，则F(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，故存

在η∈(a,b)，使得ebf(b)-eaf(a)=eη[f(η)+f'(η)]，由条件f(a)=f(b)=1，可得eb-e

a

=eη[f(η)+f'(η)]，再令φ(x)=ex，则φ(x)在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件，

故存在ξ∈(a,b)，使得eb-ea

=eξ，综合上述两式可得eξ=eη[f(η)+f'(η)]，即

eη-ξ[f(η)+f'(η)]=1。

５．研究函数在区间上的性质

因为拉氏中值定理沟通了函数与其导数的联系，很多时候。我们可以借助其导数，研究导数的性质从而了解函数在整个定义域区间上的整

体认识。比如研究函数在区间上的符号、

单调性、一致连续性，凸性等等，都可能用到拉氏中值定理的结论。通过对函数局部性质的研究把握整体性质，这是数学研究中一种重要的方法。

例5证明:若函数f(x)于有穷或无穷的区间(a,b)内有有界的导函数f'(x),则f(http:///news/55953BF76A97CA5B.htmlx)于(a,b)中一致连续。

21

≤M，对于坌ε>0，取δ=ε，则当x1,x2∈(a,b)，且x1-x2<δ，就有f(x1)-f(x2)

=x1-x2f'(ξ)≤M(x1-x2)<ε（ξ在x1,x2之间）由一致连续定义可知，f(x)在(a,b)内一致连续。

６．估值问题

证明估值问题，一般情况下选用泰勒公式证明比较简便。特别是二

阶及二阶以上的导函数估值时。

但对于某些积分估值，可以采用拉氏中值定理来证明。

a

例6设f"(x)在[a,b]上连续，且f(a)=f(b)=0，试证：乙

bf"(x)dx≥4

am≤xax≤b

f(x)

证明：若f(x)≡0，不等式显然成立，若f(x)不恒等于0，埚c∈(a,b)，使am≤axx≤bf(x)=f(c)，在[a,c]及[c,b]上分别用拉氏中值定理，有f'(ξ1)=f(c)，f'(ξ2)=f(c)aξ，从而乙bf"(x)dx≥乙

1ξf"(x)dx≥ξ

2乙

1ξf"(x)dx=f'(ξ2)-f'(ξ1)=2

f(c)(b-a)1再利用(c-a)(b-c)≤(b-a)2，即得所证。

７．证明级数收敛

∞∞

例7若一正项级数Σan(an>0)发散，sn=aa1+a2+…+an，证明级数nn=1

Σ

n=1

sn

(δ>0)收敛。

证明：作辅助函数f(x)=1δ，则f'(x)=-，当n≥2时，在[sn-1,sn]上用拉

氏中值定理，得f(sn)-f(sn-1)nn1=f'(ξn)(sn-1<ξn

n-1s，nδ

∞

由Σ1

n=21s-1s收敛，即得所证。n-1n

δ

nn

参考文献［1］周焕芹.浅谈中值定理在解题中的应用［J］.高等数学研究，1999,2(3).

［2］陈文灯，黄先开.数学题型集粹与练习题集［M］.世界图书出版公司，2001.3.

［3］钱昌本.高等数学解题过程的分析和研究［M］.科学出版社，2000.

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