拉格朗日中值定理

若函数f(x)f(x)f(x)满足

• 在闭区间[a,b][a,b][a,b]上连续
• 在开区间(a,b)(a,b)(a,b)内可导

则存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使得f(b)−f(a)b−a=f′(ξ)\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)b−af(b)−f(a)​=f′(ξ)

其实这就是柯西中值定理中g(x)=xg(x)=xg(x)=x的特殊情况。

推论1

若f(x)f(x)f(x)在(a,b)(a,b)(a,b)内可导，f′(x)≡0f'(x)\equiv0f′(x)≡0，则f(x)f(x)f(x)在(a,b)(a,b)(a,b)内为常数。

证明：对于(a,b)(a,b)(a,b)内的任意两点x1

推论2

若f′(x)=g′(x)f'(x)=g'(x)f′(x)=g′(x)，则f(x)=g(x)+Cf(x)=g(x)+Cf(x)=g(x)+C

证明：令h(x)=f(x)−g(x)h(x)=f(x)-g(x)h(x)=f(x)−g(x)，则h′(x)=f′(x)−g′(x)=0h'(x)=f'(x)-g'(x)=0h′(x)=f′(x)−g′(x)=0，由推论1得h(x)h(x)h(x)为常数，得证f(x)=g(x)+Cf(x)=g(x)+Cf(x)=g(x)+C

例1

设f(x)f(x)f(x)在(a,b)(a,b)(a,b)上连续，在(a,b)(a,b)(a,b)内可导，

求证：存在ξ∈(a,b)\xi\in(a,b)ξ∈(a,b)，使得bf(b)−af(a)b−a=ξf′(ξ)+f(ξ)\dfrac{bf(b)-af(a)}{b-a}=\xi f'(\xi)+f(\xi)b−abf(b)−af(a)​=ξf′(ξ)+f(ξ)

证：
\qquad令F(x)=xf(x)F(x)=xf(x)F(x)=xf(x)，F(x)F(x)F(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，在(a,b)(a,b)(a,b)内可导

\qquad由拉格朗日中值定理得，∃ξ∈(a,b)\exist\xi\in(a,b)∃ξ∈(a,b)，使得F(b)−F(a)b−a=F′(ξ)\dfrac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi)b−aF(b)−F(a)​=F′(ξ)

\qquad即bf(b)−af(a)b−a=ξf′(ξ)+f(ξ)\dfrac{bf(b)-af(a)}{b-a}=\xi f'(\xi)+f(\xi)b−abf(b)−af(a)​=ξf′(ξ)+f(ξ)

例2

用拉格朗日中值定理证明：
uau−1(b−a)1)ua^{u-1}(b-a)1)uau−1(b−a)1)

证：
\qquad令F(x)=xuF(x)=x^uF(x)=xu，x∈(−∞,+∞)x\in(-\infty,+\infty)x∈(−∞,+∞)，F(x)F(x)F(x)在[a,b][a,b][a,b]上连续，在(a,b)(a,b)(a,b)内可导

\qquad由拉格朗日中值定理得，∃ξ∈(a,b)\exist \xi\in(a,b)∃ξ∈(a,b)，使得

F(b)−F(a)b−a=F′(ξ)\qquad \dfrac{F(b)-F(a)}{b-a}=F'(\xi)b−aF(b)−F(a)​=F′(ξ)，即bu−aub−a=uξu−1\dfrac{b^u-a^u}{b-a}=u\xi^{u-1}b−abu−au​=uξu−1，bu−au=uξu−1(b−a)b^u-a^u=u\xi^{u-1}(b-a)bu−au=uξu−1(b−a)

∵f(x)=uxu−1(b−a)\qquad \because f(x)=ux^{u-1}(b-a)∵f(x)=uxu−1(b−a)在[a,b][a,b][a,b]上是单调递增函数，a<ξ

∴f(a)

\qquad得证uau−1(b−a)

例3

证明：∀x∈[−1,1]\forall x\in[-1,1]∀x∈[−1,1]，arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}arcsinx+arccosx=2π​成立。

证：
\qquad令f(x)=arcsin⁡x+arccos⁡xf(x)=\arcsin x+\arccos xf(x)=arcsinx+arccosx，g(x)=π2g(x)=\dfrac{\pi}{2}g(x)=2π​

f′(x)=11−x2−11−x2=0\qquad f'(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0f′(x)=1−x2​1​−1−x2​1​=0，g′(x)=0g'(x)=0g′(x)=0

\qquad即f(x)=g(x)+Cf(x)=g(x)+Cf(x)=g(x)+C

\qquad代入x=0x=0x=0，f(0)=0+arccos⁡0=π2f(0)=0+\arccos 0=\dfrac{\pi}{2}f(0)=0+arccos0=2π​，g(0)=π2g(0)=\dfrac{\pi}{2}g(0)=2π​

\qquad所以C=0C=0C=0，即f(x)=g(x)f(x)=g(x)f(x)=g(x)，得证arcsin⁡x+arccos⁡x=π2\arcsin x+\arccos x=\dfrac{\pi}{2}arcsinx+arccosx=2π​

总结

拉格朗日中值定理的应用：

• 得出或证明结论，函数值之差自变量之差\dfrac{函数值之差}{自变量之差}自变量之差函数值之差​
• 求不等式
• 求函数恒等式证明：f′(x)=g′(x)f'(x)=g'(x)f′(x)=g′(x)，f(x)=g(x)+Cf(x)=g(x)+Cf(x)=g(x)+C