这学期会时不时更新一下伊曼纽尔·德曼（Emanuel Derman） 教授与迈克尔B.米勒（Michael B. Miller）的《The Volatility Smile》这本书，本意是协助导师课程需要，发在这里有意的朋友们可以学习一下，思路不一定够清晰且由于分工原因我是从书本第13章写起，还请大家见谅。

第18章 波动率变动的各种模式

曲线斜度及动态变化之间的启发性联系

第16章中推导了：
Σ(S,K)≈σ0+2βS0−β(S+K)\Sigma(S,K)\approx\sigma_0+2\beta S_0-\beta(S+K) Σ(S,K)≈σ0​+2βS0​−β(S+K)
根据该等式可以得到：
∂Σ∂S=∂Σ∂K=−β\frac{\partial\Sigma}{\partial S}=\frac{\partial\Sigma}{\partial K}=-\beta ∂S∂Σ​=∂K∂Σ​=−β
在局部波动率模型中根据这个近似等式，知道了当前斜度的斜率 ∂Σ∂K\dfrac{\partial\Sigma}{\partial K}∂K∂Σ​ 后，就可以计算得到行权价为 KKK 时，隐含波动率随股票价格 SSS 变动的比率 ∂Σ∂S\dfrac{\partial\Sigma}{\partial S}∂S∂Σ​

在第10章中我们通过链式法则推导了下式：
Δ=ΔBSM+∂C∂Σ∂Σ∂S\Delta=\Delta_{BSM}+\frac{\partial C}{\partial\Sigma}\dfrac{\partial\Sigma}{\partial S} Δ=ΔBSM​+∂Σ∂C​∂S∂Σ​

证明：假设一个看涨期权按照BSM模型报价，市场价格为 Cmkt(S,t,K,T)≡CBSM(S,t,K,T,Σ)C_{mkt}(S,t,K,T)\equiv C_{BSM}(S,t,K,T,\Sigma)Cmkt​(S,t,K,T)≡CBSM​(S,t,K,T,Σ)，其中 Σ=Σ(S,t,K,T)\Sigma=\Sigma(S,t,K,T)Σ=Σ(S,t,K,T)，代表期权的隐含波动率，根据链式法则，正确的对冲比率为：
Δ=∂Cmkt(S,t,K,T)∂S=∂CBSM∂S+∂CBSM∂Σ∂Σ∂S=ΔBSM+∂CBSM∂Σ∂Σ∂S\Delta=\frac{\partial C_{mkt}(S,t,K,T)}{\partial S}=\frac{\partial C_{BSM}}{\partial S}+\frac{\partial C_{BSM}}{\partial\Sigma}\frac{\partial\Sigma}{\partial S}=\Delta_{BSM}+\frac{\partial C_{BSM}}{\partial\Sigma}\dfrac{\partial\Sigma}{\partial S} Δ=∂S∂Cmkt​(S,t,K,T)​=∂S∂CBSM​​+∂Σ∂CBSM​​∂S∂Σ​=ΔBSM​+∂Σ∂CBSM​​∂S∂Σ​

因此，要知道怎样对一个标准期权进行对冲，非常重要的一点就是要知道隐含波动率如何随 SSS 的变动而变动

除了依靠局部波动率模型的有效性之外，期权市场上的交易员更为常用的方法是依赖一些具有启发式的经验来判断当指数变动的时候，波动率的边际变量是多少，也就是根据曲线的斜度 ∂Σ∂K\dfrac{\partial\Sigma}{\partial K}∂K∂Σ​ 来估计 ∂Σ∂S\dfrac{\partial\Sigma}{\partial S}∂S∂Σ​。这些启发式的经验也非常有用，可以帮助我们建立关于波动率如何变化的直观判断

本章将分析 3 种与标准指数期权隐含波动率相关的不变原理启发式结论：行权价黏性原则、delta 黏性原则以及局部波动率黏性原则。在每天的交易中，交易员通常用得更多的就是这些具有启发式的结论，而不是复杂的数理模型。这些启发式的结论对于帮助我们理解波动率的变动规律以及培养相应的感觉也有非常大的作用

行权价黏性原则

行权价黏性原则提出，对于固定行权价格的期权而言，其隐含波动率总是相等的，即特定的行权价格对应特定的隐含波动率。根据这个原则，行权价格不同的期权对应的隐含波动率也是不同的

可以用数学关系式来描述行权价黏性原则：
Σ(S,K)=f(K)\Sigma(S,K)=f(K) Σ(S,K)=f(K)
f(K)f(K)f(K) 与股票价格以及时间无关。通常在价格接近平值期权行权价时，微笑曲线的斜度近似表达式是一个线性函数。因此对于股票指数期权，我们也可以用如下线性函数式来近似表达行权价黏性原则：
Σ(S,K)=Σ0−β(K−S0)\Sigma(S,K)=\Sigma_0-\beta(K-S_0) Σ(S,K)=Σ0​−β(K−S0​)
S0S_0S0​ 表示当平值期权波动率等于 Σ0\Sigma_0Σ0​ 时对应的股票价格，根据上式，平值期权的隐含波动率就可以表示为：
ΣATM(S)=Σ(S,S)=Σ0−β(S−S0)\Sigma_{ATM}(S)=\Sigma(S,S)=\Sigma_0-\beta(S-S_0) ΣATM​(S)=Σ(S,S)=Σ0​−β(S−S0​)
根据行权价黏性原则，平值期权隐含波动率随市场上涨而下降，随市场下降而上涨，这是由于负斜度的关系。波动率变动的这种模式可以理解为非理性繁荣的一种表现形式，因为平值期权的隐含波动率在市场上涨时逐步下降，这似乎意味着风险再也不会发生。在短期或者市场极度平静的时候，行权价黏性原则或许是个很好的近似表达式，但是从长期来看，这一原则并不成立。市场可以持续永远上涨，但是波动率却不可能永远下降

Delta黏性原则

首先引出货币性黏性（sticky moneyness）的概念，货币性黏性指的是，一个期权的波动率只与其货币性 K/SK/SK/S 有关。该原则的线性近似表达式为：
Σ(S,K)=Σ0−β(K−S)\Sigma(S,K)=\Sigma_0-\beta(K-S) Σ(S,K)=Σ0​−β(K−S)
货币性黏性原则通过对于期权货币性的调整，来体现股价变动时对斜度的影响。根据该原则，在其他所有条件保持不变的情况下，平值期权的波动率应该是不变的，与股票价格无关。

该原则看起来有一定的道理，但是忽略了期权的到期期限，这也是一个非常重要的参数。到期期限越长，市场偏离当前价格水平的可能性也就越大

Delta黏性意味着隐含波动率仅仅是一个与 BSM delta 值相关的函数，而delta值本身又是一个与 ln⁡(K/S)/[Σ(S,K)τ]\ln(K/S)/[\Sigma(S,K)\sqrt{\tau}]ln(K/S)/[Σ(S,K)τ​] 值相关的函数，即货币性对数、隐含方差的平方根以及到期期限 3 个变量。从数学上讲，这一启发式原则可以表达为：
Σ(S,K)=f[ln⁡(K/S)Σ(S,K)τ]\Sigma(S,K)=f[\frac{\ln(K/S)}{\Sigma(S,K)\sqrt{\tau}}] Σ(S,K)=f[Σ(S,K)τ​ln(K/S)​]
假设标的股票价格服从几何布朗运动，那么根据该等式，在delta 黏性条件下，一个期权的隐含波动率取决于，标的股票的对数回报有多少个标准差落在了股票价格和行权价之间

Delta黏性原则的近似线性表达式如下：
Σ(S,K)=Σ0−βln⁡(K/S)Σ(S,K)τ\Sigma(S,K)=\Sigma_0-\beta\frac{\ln(K/S)}{\Sigma(S,K)\sqrt{\tau}} Σ(S,K)=Σ0​−βΣ(S,K)τ​ln(K/S)​
在实践中用平值期权波动率 ΣATM(S)≡Σ(S,S)\Sigma_{ATM}(S)\equiv\Sigma(S,S)ΣATM​(S)≡Σ(S,S) 来代替上式右侧中的 Σ(S,K)\Sigma(S,K)Σ(S,K)：
Σ(S,K)=Σ0−βln⁡(K/S)ΣATM(S)τ\Sigma(S,K)=\Sigma_0-\beta\frac{\ln(K/S)}{\Sigma_{ATM}(S)\sqrt{\tau}} Σ(S,K)=Σ0​−βΣATM​(S)τ​ln(K/S)​
当delta值等于0.5时，令 Σ0\Sigma_0Σ0​ 等于隐含波动率，这样可以得到一个更为一般化的表达式：
Σ(S,K,t,T)=Σ0(t,T)−β′(t,T)[0.5−Δ(S,K,t,T,ΣATM(S))]\Sigma(S,K,t,T)=\Sigma_0(t,T)-\beta'(t,T)[0.5-\Delta(S,K,t,T,\Sigma_{ATM}(S))] Σ(S,K,t,T)=Σ0​(t,T)−β′(t,T)[0.5−Δ(S,K,t,T,ΣATM​(S))]
其中 Δ\DeltaΔ 表示标准欧式看涨期权的BSM对冲比率。等式右侧 Σ0(t,T)\Sigma_0(t,T)Σ0​(t,T) 意味着，当微笑曲线斜率随到期期限的变化而变化时，平值期权波动率的期限结构及系数 β′(t,T)\beta'(t,T)β′(t,T) 也能满足这点。在很短的时间端内，通常可以假设 Σ0,β′,ΣATM(S)\Sigma_0,\beta',\Sigma_{ATM}(S)Σ0​,β′,ΣATM​(S) 保持不变，这种情况下如果到期期限固定，Σ(S,K,τ)\Sigma(S,K,\tau)Σ(S,K,τ) 就变成了一个只受 K/SK/SK/S 影响的函数。于是：
Σ(S,K,τ)=Σ0−β′[0.5−Δ(S,K,τ,ΣATM)]\Sigma(S,K,\tau)=\Sigma_0-\beta'[0.5-\Delta(S,K,\tau,\Sigma_{ATM})] Σ(S,K,τ)=Σ0​−β′[0.5−Δ(S,K,τ,ΣATM​)]
对于标准的欧式看涨期权，当 SSS 上升或者 KKK 下降的时候，上式中的delta值会随之增加。因此如果 β′\beta'β′ 是正数，行权价较低的看涨期权，对应的delta值和隐含波动率就更高，相应的微笑曲线呈现负斜度。当行权价格 KKK 固定时，股价 SSS 上升，隐含波动率也会上升，于是 ∂Σ∂S>0\dfrac{\partial\Sigma}{\partial S}>0∂S∂Σ​>0。这看起来并不符合我们的直觉，当微笑曲线呈现负斜度的情况下，行权价越低对应的风险越高，但是在这也意味着风险会随着股票价格的下降而降低

在货币性黏性或者 delta 黏性原则之下，隐含波动率会随着股票价格的上升而增加，因此根据链式法则，一个标准期权的对冲比率会大于 BSM 的delta值。这与局部波动率模型中的结论完全相反

局部波动率模型

在局部波动率模型中，当前期权的一组价格对应的是唯一的一组局部波动率。从理论上讲，这组局部波动率不会随着时间和股票价格的变动而变动，如下图所示：

可以看到，局部波动率模型对于负斜度的解释是，当指数下跌的时候，市场预期实际的波动率会提高（并且，相应的隐含波动率值也会提高），而指数上涨的时候，波动率会降低

如果假设局部波动率是一个由指数水平和行权价决定的线性函数，那么隐含波动率也是一个跟指数水平和行权价相关的函数。于是可以得到
Σ(S,K)=Σ0+2βS0−β(S+K)\Sigma(S,K)=\Sigma_0+2\beta S_0-\beta(S+K) Σ(S,K)=Σ0​+2βS0​−β(S+K)
指数水平上涨对于隐含波动率的影响，与行权价上涨的影响是一样的。这跟之前在货币性黏性和delta黏性模型中的结论恰恰相反

局部波动率模型中，平值期权的波动率等于：
ΣATM=Σ(S,S)=Σ0−2β(S−S0)\Sigma_{ATM}=\Sigma(S,S)=\Sigma_0-2\beta(S-S_0) ΣATM​=Σ(S,S)=Σ0​−2β(S−S0​)
相比货币性黏性和 delta 黏性模型，平值期权或者固定 delta 值期权的波动率并非保持不变。假设微笑曲线呈现负斜度，就有
∂ΣATM∂S<0\frac{\partial\Sigma_{ATM}}{\partial S}<0 ∂S∂ΣATM​​<0
即平值期权的波动率会随着指数的下跌而增加。这跟我们在第 16 章中的结论一致，在局部波动率框架下，如果微笑曲线呈现负斜度，那么一个标准期权的对冲比率会小于 BSM 的 delta 值。这也跟我们在货币性黏性和 delta 黏性模型中的结论相反

原则总结

假设隐含波动率呈现负斜度且 β>0\beta>0β>0：

真实世界中的黏性原则

当微笑曲线是负斜度，斜率为 β\betaβ 的时候，我们可以将行权价黏性、货币性黏性和局部波动率黏性对应的几个线性近似表达式综合在一起，得到一个更广义上的方程式，如下：
Σ(S,K)=Σ0−β(K−S)−B(S−S0)\Sigma(S,K)=\Sigma_0-\beta(K-S)-B(S-S_0) Σ(S,K)=Σ0​−β(K−S)−B(S−S0​)
为简化处理，我们假设 β\betaβ 和 BBB 在分析期内保持不变。上述三条原则分别对应：

1. 行权价黏性：B=βB=\betaB=β
2. 货币性黏性：B=0B=0B=0
3. 局部波动率黏性：B=2βB=2\betaB=2β

于是平值期权的波动率就可以简化为：
ΣATM≡Σ(S,S)=Σ0−B(S−S0)\Sigma_{ATM}\equiv\Sigma(S,S)=\Sigma_0-B(S-S_0) ΣATM​≡Σ(S,S)=Σ0​−B(S−S0​)
Kamal和Gatheral(2010)分析了标普 500 指数微笑曲线的变化情况。他们重点分析了比率 CCC 值，其定义如下：
∂ΣATM∂S=−B∂Σ(S,K)∂K=−βC=∂ΣATM∂S∂Σ(S,K)∂K=Bβ\frac{\partial\Sigma_{ATM}}{\partial S}=-B\\ \frac{\partial\Sigma(S,K)}{\partial K}=-\beta\\ C=\frac{\dfrac{\partial\Sigma_{ATM}}{\partial S}}{\dfrac{\partial\Sigma(S,K)}{\partial K}}=\frac{B}{\beta} ∂S∂ΣATM​​=−B∂K∂Σ(S,K)​=−βC=∂K∂Σ(S,K)​∂S∂ΣATM​​​=βB​
CCC 表示平值期权波动率随时间变动和指数价格水平变动的比率，再除以曲线当前的斜率。他们用这个比率来观察市场的流动性情况

这三条启发式原则对应的 CCC 比率预测值分别是：

1. 行权价黏性：C=1C=1C=1
2. 货币性黏性：C=0C=0C=0
3. 局部波动率黏性：C=2C=2C=2

在他们的实证研究中，Kamal 和 Gatheral 发现，CCC 比率约等于1.5。从他们的研究结果看来，货币性黏性原则过于简化，应该拒绝，而实际情况应该是介于行权价黏性和局部波动率黏性之间