文章目录

• 概念
• 性质
• 计算
• • 利用直角坐标计算
  • 利用极坐标计算
  • 利用函数的奇偶性计算
  • 利用变量的轮换对称性计算

概念

• 定义：设函数z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)在有界区域DDD上有定义，将区域DDD任意分成nnn个小区域Δσ1,Δσ2,...,Δσn\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,...,\Delta\sigma_nΔσ1​,Δσ2​,...,Δσn​，其中Δσi\Delta\sigma_iΔσi​代表第iii个小区域，也表示它的面积，在每个Δσi\Delta\sigma_iΔσi​上任取一点(ξi,ηi)(\xi_i,\eta_i)(ξi​,ηi​)，做乘积f(ξi,ηi)Δσif(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_if(ξi​,ηi​)Δσi​，并求和∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i∑i=1n​f(ξi​,ηi​)Δσi​，记λ\lambdaλ为nnn个小区域Δσ1,Δσ2,...,Δσn\Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,...,\Delta\sigma_nΔσ1​,Δσ2​,...,Δσn​中最大直径，如果∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i∑i=1n​f(ξi​,ηi​)Δσi​存在，则称f(x,y)f(x,y)f(x,y)在区域DDD上的二重积分，记为∬Df(x,y)dσ=lim⁡λ→0∑i=1nf(ξi,ηi)Δσi\iint_Df(x,y)d\sigma=\lim\limits_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i∬D​f(x,y)dσ=λ→0lim​∑i=1n​f(ξi​,ηi​)Δσi​。
• 几何意义：二重积分∬Df(x,y)dσ\iint_Df(x,y)d\sigma∬D​f(x,y)dσ是一个数，当f(x,y)≥0f(x,y)≥0f(x,y)≥0时，其值等于以区域DDD为底，以曲面z=f(x,y)z=f(x,y)z=f(x,y)为曲顶柱体的体积，当f(x,y)≤0f(x,y)≤0f(x,y)≤0时，二重积分的值为负数，其绝对值等于上述曲顶柱体的体积。

性质

• 不等式性质：
  • 若在DDD上f(x,y)≤g(x,y)f(x,y)≤g(x,y)f(x,y)≤g(x,y)，则∬Df(x,y)dσ≤∬Dg(x,y)dσ\iint_Df(x,y)d\sigma≤\iint_Dg(x,y)d\sigma∬D​f(x,y)dσ≤∬D​g(x,y)dσ；
  • 若在DDD上m≤f(x,y)≤Mm≤f(x,y)≤Mm≤f(x,y)≤M，则mσ≤∬Df(x,y)dσ≤Mσm\sigma≤\iint_Df(x,y)d\sigma≤M\sigmamσ≤∬D​f(x,y)dσ≤Mσ（其中σ\sigmaσ为区域DDD的面积）；
  • ∣∬Df(x,y)dσ∣≤∬D∣f(x,y)∣dσ|\iint_Df(x,y)d\sigma|≤\iint_D|f(x,y)|d\sigma∣∬D​f(x,y)dσ∣≤∬D​∣f(x,y)∣dσ。
• 中值定理：设函数f(x,y)f(x,y)f(x,y)在闭区域DDD上连续，σ\sigmaσ为区域DDD的面积，则在DDD上至少存在一点(ξ,η)(\xi,\eta)(ξ,η)，使得∬Df(x,y)dσ=f(ξ,η)σ\iint_Df(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)\sigma∬D​f(x,y)dσ=f(ξ,η)σ。

计算

利用直角坐标计算

• 先yyy后xxx，积分区域DDD可以用a≤x≤ba≤x≤ba≤x≤b，φ1(x)≤y≤φ2(x)\varphi_1(x)≤y≤\varphi_2(x)φ1​(x)≤y≤φ2​(x)表示：∬Df(x,y)dσ=∫abdx∫φ1(x)φ2(x)f(x,y)dy\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy∬D​f(x,y)dσ=∫ab​dx∫φ1​(x)φ2​(x)​f(x,y)dy
• 先xxx后yyy，积分区域DDD可以用a≤y≤ba≤y≤ba≤y≤b，φ1(y)≤x≤φ2(y)\varphi_1(y)≤x≤\varphi_2(y)φ1​(y)≤x≤φ2​(y)表示：∬Df(x,y)dσ=∫abdy∫φ1(y)φ2(y)f(x,y)dx\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_a^bdy\int_{\varphi_1(y)}^{\varphi_2(y)}f(x,y)dx∬D​f(x,y)dσ=∫ab​dy∫φ1​(y)φ2​(y)​f(x,y)dx

利用极坐标计算

先rrr后θ\thetaθ：积分区域DDD可以用α≤θ≤β\alpha≤\theta≤\betaα≤θ≤β，φ(α)≤r≤φ(β)\varphi(\alpha)≤r≤\varphi(\beta)φ(α)≤r≤φ(β)表示，∬Df(x,y)dσ=∫αβdθ∫φ(α)φ(β)f(rcosθ,rsinθ)rdr\iint_Df(x,y)d\sigma=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)}f(rcos\theta,rsin\theta)rdr∬D​f(x,y)dσ=∫αβ​dθ∫φ(α)φ(β)​f(rcosθ,rsinθ)rdr
适合使用极坐标计算的二重积分的特征：

• 适合使用极坐标计算的被积函数：f(x2+y2)f(yx),f(xy)f(\sqrt{x^2+y^2})f(\frac{}y{x}),f(\frac{x}{y})f(x2+y2​)f(y​x),f(yx​)。
• 适合用极坐标的积分域：x2+y2≤R2,r2≤x2+y2≤R2，x2+y2≤2ax,x2+y2≤2byx^2+y^2≤R^2,r^2≤x^2+y^2≤R^2，x^2+y^2≤2ax,x^2+y^2≤2byx2+y2≤R2,r2≤x2+y2≤R2，x2+y2≤2ax,x2+y2≤2by。

利用函数的奇偶性计算

• 若积分区域DDD关于yyy轴对称，f(x,y)f(x,y)f(x,y)关于xxx轴有奇偶性，则∬Df(x,y)dσ={2∬Dx≥0f(x,y)dσ,f(x,y)关于x为偶函数0,f(x,y)关于x为奇函数\iint_Df(x,y)d\sigma=\begin{cases}2\iint_{D_x≥0}f(x,y)d\sigma,f(x,y)关于x为偶函数\\0,f(x,y)关于x为奇函数\end{cases}∬D​f(x,y)dσ={2∬Dx​≥0​f(x,y)dσ,f(x,y)关于x为偶函数0,f(x,y)关于x为奇函数​
• 若积分区域DDD关于xxx轴对称，f(x,y)f(x,y)f(x,y)关于yyy轴有奇偶性，则∬Df(x,y)dσ={2∬Dy≥0f(x,y)dσ,f(x,y)关于y为偶函数0,f(x,y)关于y为奇函数\iint_Df(x,y)d\sigma=\begin{cases}2\iint_{D_y≥0}f(x,y)d\sigma,f(x,y)关于y为偶函数\\0,f(x,y)关于y为奇函数\end{cases}∬D​f(x,y)dσ={2∬Dy​≥0​f(x,y)dσ,f(x,y)关于y为偶函数0,f(x,y)关于y为奇函数​

利用变量的轮换对称性计算

如果积分区域DDD具有轮换对称性，也就是关于直线y=xy=xy=x对称，即DDD的表达式中将xxx换作yyy，yyy换作xxx表达式不变，则∬Df(x,y)dσ=∬Df(y,x)dσ\iint_Df(x,y)d\sigma=\iint_Df(y,x)d\sigma∬D​f(x,y)dσ=∬D​f(y,x)dσ