这是本人的解答，并非官方解答

验证旋转矩阵是正交矩阵

在第44页中，旋转矩阵的引入是这样的：

所以，我们需要验证矩阵
R=[e1Te1′e1Te2′e1Te3′e2Te1′e2Te2′e2Te3′e3Te1′e3Te2′e3Te3′]R = \begin{bmatrix} e_1^{T}e_1^{'}&& e_1^{T}e_2^{'} && e_1^{T}e_3^{'}\\ e_2^{T}e_1^{'}&& e_2^{T}e_2^{'} && e_2^{T}e_3^{'}\\ e_3^{T}e_1^{'}&& e_3^{T}e_2^{'} && e_3^{T}e_3^{'}\\ \end{bmatrix}R=​e1T​e1′​e2T​e1′​e3T​e1′​​​e1T​e2′​e2T​e2′​e3T​e2′​​​e1T​e3′​e2T​e3′​e3T​e3′​​​

是正交矩阵，
那么我们只需要验证矩阵 R 的转置是他的逆就可以了。
RT=[e1’Te1e1‘Te2e1’Te3e2‘Te1e2‘Te2e2‘Te3e3’Te1e3’Te2e3’Te3]R^T=\begin{bmatrix} e_1^{’T}e_1^{}&& e_1^{‘T}e_2^{} && e_1^{’T}e_3^{}\\ e_2^{‘T}e_1^{}&& e_2^{‘T}e_2^{} && e_2^{‘T}e_3^{}\\ e_3^{’T}e_1^{}&& e_3^{’T}e_2^{} && e_3^{’T}e_3^{}\\ \end{bmatrix}RT=​e1’T​e1​e2‘T​e1​e3’T​e1​​​e1‘T​e2​e2‘T​e2​e3’T​e2​​​e1’T​e3​e2‘T​e3​e3’T​e3​​​

RTR=[e1’Te1e1Te1’+e1’Te2e2Te1’+e1’Te3e3Te1’e1’Te1e1Te2’+e1’Te2e2Te2’+e1’Te3e3Te2’−−−−−−−]R^{T}R=\begin{bmatrix} e_1^{’T}e_1^{}e_1^{T}e_1^{’}+ e_1^{’T}e_2^{}e_2^{T}e_1^{’}+ e_1^{’T}e_3^{}e_3^{T}e_1^{’}&& e_1^{’T}e_1^{}e_1^{T}e_2^{’}+ e_1^{’T}e_2^{}e_2^{T}e_2^{’}+ e_1^{’T}e_3^{}e_3^{T}e_2^{’} && -\\ -&& - && -\\ -&& - && -\\ \end{bmatrix}RTR=​e1’T​e1​e1T​e1’​+e1’T​e2​e2T​e1’​+e1’T​e3​e3T​e1’​−−​​e1’T​e1​e1T​e2’​+e1’T​e2​e2T​e2’​+e1’T​e3​e3T​e2’​−−​​−−−​​
需要证明：
e1’Te1e1Te1’+e1’Te2e2Te1’+e1’Te3e3Te1’=1(1)e_1^{’T}e_1^{}e_1^{T}e_1^{’}+ e_1^{’T}e_2^{}e_2^{T}e_1^{’}+ e_1^{’T}e_3^{}e_3^{T}e_1^{’}=1 \tag{1}e1’T​e1​e1T​e1’​+e1’T​e2​e2T​e1’​+e1’T​e3​e3T​e1’​=1(1)

根据向量內积的性质，有：

e1’Te1e1Te1’+e1’Te2e2Te1’+e1’Te3e3Te1’=cos⁡2a+cos⁡2b+cos⁡2ce_1^{’T}e_1^{}e_1^{T}e_1^{’}+ e_1^{’T}e_2^{}e_2^{T}e_1^{’}+ e_1^{’T}e_3^{}e_3^{T}e_1^{’} =\cos^2 a+\cos^2 b+\cos^2 ce1’T​e1​e1T​e1’​+e1’T​e2​e2T​e1’​+e1’T​e3​e3T​e1’​=cos2a+cos2b+cos2c
其中 a,b,ca,b,ca,b,c 分别为向量 e1′e_1^{'}e1′​ 与坐标系的三个基底e1,e2,e3e_1^{},e_2^{},e_3^{}e1​,e2​,e3​所成夹角。由接下来的这张图，易得式（1）成立。

下面要证明：
e1’Te1e1Te2’+e1’Te2e2Te2’+e1’Te3e3Te2’=0(2)e_1^{’T}e_1^{}e_1^{T}e_2^{’}+ e_1^{’T}e_2^{}e_2^{T}e_2^{’}+ e_1^{’T}e_3^{}e_3^{T}e_2^{’} = 0 \tag{2}e1’T​e1​e1T​e2’​+e1’T​e2​e2T​e2’​+e1’T​e3​e3T​e2’​=0(2)

不妨令：
e1=[100]e2=[010]e3=[001]e_1 =\begin{bmatrix} 1 \\ 0\\ 0\\ \end{bmatrix} e_2 =\begin{bmatrix} 0 \\ 1\\ 0\\ \end{bmatrix} e_3 =\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\ 1\\ \end{bmatrix} e1​=​100​​e2​=​010​​e3​=​001​​
则
e1’Te1e1Te2’+e1’Te2e2Te2’+e1’Te3e3Te2’=e1’T(e1e1T+e2e2T+e3e3T)e2’e_1^{’T}e_1^{}e_1^{T}e_2^{’}+ e_1^{’T}e_2^{}e_2^{T}e_2^{’}+ e_1^{’T}e_3^{}e_3^{T}e_2^{’} = e_1^{’T}(e_1^{}e_1^{T}+e_2^{}e_2^{T}+e_3^{}e_3^{T})e_2^{’} e1’T​e1​e1T​e2’​+e1’T​e2​e2T​e2’​+e1’T​e3​e3T​e2’​=e1’T​(e1​e1T​+e2​e2T​+e3​e3T​)e2’​
而
e1e1T+e2e2T+e3e3T=Ie_1^{}e_1^{T}+e_2^{}e_2^{T}+e_3^{}e_3^{T}=Ie1​e1T​+e2​e2T​+e3​e3T​=I
所以 式（2）左边
=e1’TIe2’=e1’Te2’=0(正交基旋转之后还是正交基)=e_1^{’T}Ie_2^{’}=e_1^{’T}e_2^{’}=0(正交基旋转之后还是正交基)=e1’T​Ie2’​=e1’T​e2’​=0(正交基旋转之后还是正交基)

注意，式（1）的证明也可以用式（2）证明的方法。
同理可证矩阵 RTRR^{T}RRTR 主对角线元素为1，其余元素为0，所以其为单位阵。
同理可证矩阵RRTRR^{T}RRT是单位阵。
所以，矩阵 R 是正交矩阵。