343 整数拆分 medium

给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

这道题乍一看没有点儿动态规划的影子，反而感觉用数学法可以求解。

但是，既然放在了动态规划的范畴里，还是有其可取巧的成分，因为一个数字要拆分，像是后面要提到的背包问题，所以想想应该怎么求解。

还是五部曲，

1 - 确定dp数组：如果是卡的话，大多就卡在这一步和下一步，如果看成背包问题就好想那么一点，那么dp[i] 就可以表示 i 拆分完之后的最大乘积。

2 - 确定递推公式：这道题既不是此前的一维数组，也不是二维数组。我们可以想一下，如果要得到 i 的最大乘积，那么结果必然是从某个乘式而来，先考虑两个数相乘，可以从1到 j 遍历，乘积为 j x (i - j)，再考虑多个数相乘，可以用j x dp(i - j)表示

我们以n = 4为例，dp[1] = 1, dp[2] = 1x2 = 2, dp[3] = 1 x 2 = 2

而dp[4] = 2 x 2 = 4, 先从max(1x3, 1xdp[3])考虑，再计算2x2，最终结果还是2x2比较大。

3 - 确定初始化：上一步中就确定了初始化的结果

4 - 遍历顺序：第二步中也分析了

5 - 举例：参考第二步

根据以上思想，代码如下：

int integerBreak(int n) {vector dp(n + 1, 0);dp[2] = 1;for (int i = 3; i <= n; ++i) {for (int j = 1; j <= i/2; ++j) {dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));}}return dp[n];
}

数学法，此处不证明，具体证明过程可以参考本题LeetCode的官方解法，代码如下：

int integerBreak(int n) {if (n <= 3) {return n - 1;}int quotient = n / 3;int remainder = n % 3;if (remainder == 0) {return (int)pow(3, quotient);} else if (remainder == 1) {return (int)pow(3, quotient - 1) * 4;} else {return (int)pow(3, quotient) * 2;}
}

96 不同的二叉搜索树 medium

给你一个整数 n ，求恰由 n 个节点组成且节点值从 1 到 n 互不相同的 二叉搜索树 有多少种？返回满足题意的二叉搜索树的种数。

这道题乍一看还是没什么动态规划的感觉，用暴力搜索感觉反而好做一点。

不过还是试着写一写五部曲：

1 - 确定dp数组：dp[i]就是从1到 i ，不相同的二叉搜索树的个数，注意是二叉搜索树，否则这道题就简单了。

2 - 确定递推公式：这一步比较难想。但是应该还是有规律可寻的。此处借用一下随想录中的两张图片来说明问题，

可以看出，当 i = 3的时候，以1为头结点，抛开这个头结点，其结构和 i = 2的时候是一样的；而头结点为2时，左右子树都是一个结点，结构和 i = 1的时候是一样的；而头结点为3的时候，抛开这个头结点，结构和 i = 2是又是一样的。说到这里好像有些规律可寻。但是这道题目怪的地方就在于，我们如果按照下式来写，会发现最后一项没法写。

dp[3] = dp[1] * dp[2] + dp[2] * dp[1] + ？

所以，这道题要这么写，要给 i = 0的时候赋初值，才可以写出来递推公式

dp[3] = dp[0] * dp[2] + dp[1] * dp[1] + dp[2] * dp[0]

可以推导出来，dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j]

3 - 初始化：按照第二步中提到的，要初始化dp[0] = 1

4 - 遍历顺序：二维，从小到大

5 - 举例：省略

根据上述思想，代码如下：

int numTrees(int n) {vector dp(n + 1);dp[0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++) {for (int j = 1; j <= i; j++) {dp[i] += dp[j - 1] * dp[i - j];}}return dp[n];
}

这道题也有数学方法，成为卡塔兰数，推导公式如下：

根绝这个式子，代码如下：

int numTrees(int n) {long long C = 1;for (int i = 0; i < n; ++i) {C = C * 2 * (2 * i + 1) / (i + 2);}return (int)C;
}