文章目录

• 前言
• 一、欧几里得算法
• 二、扩展欧几里得算法
• • 2.1、认识裴蜀定理
  • 2.2、推导ax+by=gcd(a, b)得到x与y
  • • 2.2.1、推导过程
    • 2.2.2、代码实现
  • 2.3、推导ax+by=gcd(a, b)的所有解及a或者b的最小值（结论+验证）
• 参考文章

前言

在学习Acwing c++蓝桥杯辅导课第八讲数论-AcWing 1299. 五指山时有使用到扩展欧几里得算法，这里来记录下知识点。

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一、欧几里得算法

介绍：

欧几里得算法：欧几里得算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。

• gcd(a, b) = d，该d就是最大公约数。

代码：

class Solution {//欧几里得算法(辗转相除法)public static int gcd(int a, int b) {if (b == 0) return a;return gcd(b, a % b);}public static void main(String[] args) {System.out.println(gcd(12, 5));}
}

二、扩展欧几里得算法

2.1、认识裴蜀定理

裴蜀定理，又称贝祖定理（扩展欧几里得）：说明了对任何整数a、b和它们的最大公约数d，关于未知数x和y的线性不定方程（称为裴蜀等式），是一个关于最大公约数的定理。

若是a,b是整数，且gcd(a, b) = d，那么一定存在整数x,y，使ax+by=d成立。

2.2、推导ax+by=gcd(a, b)得到x与y

2.2.1、推导过程

针对于方程：ax+by=gcd(a, b)

①当b = 0时，ax + by = a，则x = 1, y = 0。【实际上就是求解到最大公约数临界时】

②当b ≠ 0时，即gcd(a, b) = gcd(b, a % b)，根据裴蜀定理gcd(a, b) = d => ax+by=d

gcd(b, a % b) = bx’ + (a % b)y’ ，又a % b = a - (int)(a / b) * b，其中这个a/b是得到整数，即a % b = a - a/b*b

gcd(b, a % b) = bx’ + (a - a/b*b)y’，接着来进行拆解式子为ay’ + b(x’ - (a/b) * y)

此时得到式子：gcd(b, a % b) = ay’ + b(x’ - (a/b) * y’)

又gcd(a, b) = ax + by，又gcd(a, b) = gcd(b, a % b)

此时ax + by = ay’ + b(x’ - (a/b) * y’)

• x = y’
• y = x’ - (a/b) * y’

这个y’，x’指的是当前递归层级时的x，y。

2.2.2、代码实现

class Solution {/*** x.a + b * y = d* @param a* @param b* @param arr 存储x，y*/public static int exGcd(int a, int b, int[] arr) {if (b == 0) {//此时已经求得最大公约数即为a，此时默认x为1，y为0arr[0] = 1;arr[1] = 0;return a;}//递归求得最大公约数int d = exGcd(b, a % b, arr);//通过公式去化解转为 x = y'，y = x‘ - a/b*y'int temp = arr[0];arr[0] = arr[1];arr[1] = temp - a / b * arr[1];return d;}public static void main(String[] args) {//扩展欧几里得计算得到x,yint[] arr = new int[2];System.out.printf("最大公约数为：%d\n", exGcd(12, 5, arr));System.out.printf("x = %d, y = %d", arr[0], arr[1]);}
}

2.3、推导ax+by=gcd(a, b)的所有解及a或者b的最小值（结论+验证）

利用扩展欧几里得算法我们可以去推导ax+by=gcd(a, b)，从而得到一组x与y的解。

结论

通过这么一组x与y的解我们可以得到所有的x与y解！

这里我们将gcd(a,b)来用d表示，ax+by = d。

定义：a’ = ad\frac{a}{d}da​，b‘ = bd\frac{b}{d}db​

x与y公式定义结论：所有的x，y解为

x = x0 + kb'
y = y0 - ka'

x或者y最小正整数值结论(这里举y最小正整数值)：y = y % a’，此时即可得到最小的y值。

• 我们可以直接将第一组解的y代入或者使用求得的y0代入都是可以得到最小正整数解！

相关算法题目：AcWing 1299. 五指山

证明推导

①x与y公式定义结论推导

我们来尝试将x与y的最终推导公式带入到ax+by = d式子中：

ax+by = a(x0 + kb’) + b(y0 - ka’) = ax0 + akb’ + by0 - bka’ = ax0 + by0 + akb’ - bka’

此时我们将a’ = ad\frac{a}{d}da​，b‘ = bd\frac{b}{d}db​代入到akb’ - bka’中去，akb’ = ak.b / d，bka’ = bk.a / d，也就是说akb’ = bka’

所以ax0 + by0 + akb’ - bka’ = ax0 + by0 = d，得证！

我们来举例子证明下对应的a’与b’以及x与y通式是否正确：

给出a = 12，b = 5，d = gcd(a, b) = 1
根据扩展欧几里得可以得到式子：ax + by = d通过算法来得到一组x、y解，x = -2，y = 5      // 式子为：-2*12 + 5*5 = 1
接着我们根据①中的公式定理，a' = a / d，b' = b / d  //  a' = 12/1 = 12， b' = 5 / 1 = 5
对应x与y的所有解公式为：x = x0 + kb'，y = y0 - ka'此时我们可以去尝试得到x0的解(假设k=1)，-2 = x0 + 1*5，得到x0 = -7尝试得到y0的解(假设k=1)，5 = y0 - 1*12，得到y0 = 17ok，此时x0 = -7，y0 = 17，我们来自己通过公式去尝试构造一组解，设置k = 2，x = -7 + 2 * 5 = 3y = 17 - 2 * 12 = -7
尝试代入ax+by=d中，即为12 * 3 + 5 * (-7) = 1，此时能够验证成功！

②y最小正整数值举例：y = y % a’

依旧使用①中的例子我们来求y的最小值：a = 12，b = 5，a’ = 12，b’ = 5，x0 = -7，y0 = 17

//使用y0代入
17 % 12 = 5//使用y代入(第一组解得到的值y = 5)
5 % 12 = 5//使用y为负数情况代入(自己设置k=2时得到的y解)
-7 % 12 = -5
//对于该特殊情况我们需要使用(y mod a' + a') % a'
(-7 % 12 + 12) % 12 = (-5 + 12) % 12 = 17 % 12 = 5

结论：我们可以直接将第一组解的y代入或者使用求得的y0代入都是可以得到最小正整数解！

参考文章

[1]. 扩展欧几里得算法 思想及模板代码

[2]. 扩展欧几里得算法详解