正交向量与子空间

本章研究的重点还是之前提到过的子空间，但是本章我们主要从正交的角度来探讨这些子空间具有的性质，主要内容见下图。

注意，上图指出了我们之前没有关注到的子空间的一些性质：对于一个矩阵，其零空间与行空间正交，其列空间与左零空间正交。

向量正交与空间正交

在线性代数中，正交就是垂直。无论我们讨论的是向量正交还是空间正交，都可以理解为垂直。
我们先研究最简单的向量正交：

如上图，其中 与 向量之间相互垂直（正交）。根据垂直关系，可得 xTy =0，这是初高中的内容：如果两个向量相互垂直（正交），那么这两个向量的数量积（内积）为 。
如果两个向量中其中一个是零向量，则两个向量一定正交。
接下来我们讨论空间正交，两个空间正交意味着：其中一个空间中的任意一个向量，都与另外一个空间中的任意一个向量正交。
这里需要注意一种容易混淆的情况，比如以黑板和地板为例，这两者所处的空间并非是空间正交的，最直接的反例是黑板平面和地板平面的交线处，这个交线处上的向量既属于黑板平面，也属于地板平面，最简单地，取交线处上的向量的平方存在不为 0 的可能，所以黑板平与地板平面不是空间正交的。
这同时也提醒我们：两个平面若在非零向量处相交，则这两个平面一定是不正交的。
最后我们探究子空间中的正交情况，先简单地以 的子空间为例，R2的子空间有三种：整个平面D，过原点的直线 L，零向量。
就这三个子空间而言，显然L 和D 是不可能正交的，因为L 就在平面上，但L 和零向量，D 和零向量是正交的。此外， 和 之间也可能是正交的：两条直线需要在原点处互相垂直。

矩阵的子空间的正交情况

一个矩阵，其零空间与行空间是正交的，它们之间的关系类似于将一个空间一分为二所得到的两个子空间。
我们先证明为什么零空间和行空间是正交的，而这一点很容易从 Ax = 0上找到答案。

对于 ，有 Ax = 0的每一行与 相乘结果为零，这也即表明 A中的每一行与 x正交。 对应的是零空间中的任意向量，现 A中的每一行与x 相乘结果为零，那么显然A 中的行的线性组合与 x相乘结果依然为零，而 A中的行的线性组合对应的是行空间中的任意向量，所以，矩阵零空间与行空间正交。同样地，根据ATy = 0 ，我们能以相同的方法证明矩阵的列空间和左零空间是正交的。

无解方程Ax = b 的最优解

在上一课中我们看到了，矩阵的数据来源于实际测量，既然是测量，那么就存在测量不准确的情况，从而导致无解。此外，测量过程中极其细微的误差也可能导致无解。
除了测量因素以外，有时候 是一个长方形矩阵，其行数 很多，列数 很少（也即较少的未知数要满足非常多的方程），这时候有些方程得到的结果可能是有很大误差的，这个误差来自 ，也即 中有一部分是“坏数据”，这些“坏数据”使得方程无解。
我们可以不断去掉一些方程，用以剔除“坏数据”，最后得到一个可逆的方阵然后进行求解，但这种方法是不实际的，因为对于所有测量值而言，我们很难判断哪些是有效的好数据，哪些是无效的坏数据。一般我们希望利用所有的测量值求出“最优值”，类似于一种拟合
一种常用的方法是在方程两侧乘以 AT，无解方程从而改写成
，求解新方程的解即为最优解。

注意，这个解并非是 A x= b 的解，我们已经假设 A x=b 是无解的，也即符合方程的x 不存在。在已知 Ax 不等于b的情况下，我们尝试求解
ATA未必是可逆的，当A的各列线性相关的时候，ATA就不可逆了。

• 性质一：N(ATA) = N(A)：ATA与A的零空间相同。
• 性质二：rank(ATA) = rank(A)：ATA与A的秩相同。
  显然，如果 A的各列线性相关，那么A 的零空间就存在非零向量使得A 的各列线性组合为零向量。因为ATA 与A 的零空间相同，所以 ATA零空间就存在非零向量使得 ATA的各列线性组合为零向量，既然存在这样的非零向量，那么ATA 就不是一个可逆矩阵。