物理学中的群论漫谈1:群论基础与希尔伯特空间

我准备开一个新系列谈谈群论在物理学中的应用,这样有两个好处:一是可以明白群论以及相关数学概念的具体应用,以此来举一反三懂得这些理论工具如何使用;而是可以通过这样的应用例子反过来更好地理解这些代数概念;参考书是约什(A.W.Joshi)的<<物理学中的群论基础>>,因此符号我们沿用这本书的习惯.

群理论

一个群是一些不同元素的集合,G≡{E,AG \equiv\{E, AG≡{E,A, B,C,D,⋯}B, C, D, \cdots\}B,C,D,⋯}, 这些元素被赋予一合成法则(如加法, 乘法, 矩阵乘法等),满足下列性质:

i) GGG 中的任意两个元素 AAA 和 BBB 在给定法则下合成得到 的元素仍然属于 GGG, 即

A∘B∈G,∀A,B∈GA \circ B \in G, \forall A, B \in GA∘B∈G,∀A,B∈G

这一性质叫做群的封闭性;

ii) 存在单位元素(单位元或恒等元) E∈GE \in GE∈G, 使得对所 有的 A∈GA \in GA∈G:

E∘A=A∘E=AE \circ A=A \circ E=AE∘A=A∘E=A

iii) 对任意元素 A∈GA \in GA∈G, 存在一个唯一的元素 B∈GB \in GB∈G, 使 得

∀A∈G:∃B∈G∋A∘B=B∘A=E\forall A \in G: \exists B \in G \ni A \circ B=B \circ A=E∀A∈G:∃B∈G∋A∘B=B∘A=E

BBB 叫做 AAA 的逆 (逆元), AAA 也叫做 BBB 的逆.

iv) 群元素的合成法则满足结合律, 即对任意 A,BA, BA,B, c∈Gc \in Gc∈G:

A∘(B∘C)=(A∘B)∘C,∀A,B,C∈GA \circ(B \circ C)=(A \circ B) \circ C, \forall A, B, C \in GA∘(B∘C)=(A∘B)∘C,∀A,B,C∈G

(变换群) 物理学家特别感兴趣的是物理系统的变换群.使物理系统保持不变的变换叫做系统的对称变换.例如,一个圆绕通过其中心并垂直于圆平面的轴的转动是它的对称变换.在一个分子中,两个相同原子的置换对分子来说也是对称变换.

现在我们考虑对如上标记过各点位置的正方形进行变换的群,也就是如下这样的群(读者可以尝试根据定义验证这是一个群,证明留作习题):

比如我们可以验证σuC4=mx\sigma_u C_4=m_xσu​C4​=mx​:

还有比较复杂的运算比如逆元(C4)−1=C43(C_4)^{-1}=C_4^3(C4​)−1=C43​ 或结合律 C4C43=C43C4=EC_4 C_4^3=C_4^3 C_4=EC4​C43​=C43​C4​=E:

考察如下的群元素关系:

A−1BA=CA^{-1}BA=CA−1BA=C

其中 AAA,BBB 和 CCC 是群的元素.当两元素 BBB 和 CCC 之间存在这样的关系时,它们叫做共轭元素,上述运算叫做 BBB 通过 AAA 的相似变换.显然:

ACA−1=BACA^{-1}=BACA−1=B

不难得出 C4vC_{4v}C4v​ 群元素之间的这种关系.例如:

C4−1mxC4=myC_4^{-1} m_x C_4=m_yC4−1​mx​C4​=my​

这表明 mxm_xmx​ 和 mym_ymy​ 互为共轭.共轭在矩阵论里其实就对应了相似矩阵,而在离散数学里我们也学过二元关系,其实共轭就是群上的一种二元关系;那么类比二元关系和划分的概念可知, 可以把一个群化分成一些集合, 使得每一集 合中的所有元素都相互共轭, 但属于不同集合的两元素互不共轭. 这样的集合叫做群的共轭类或简称类.C4vC_{4 v}C4v​ 的类(划分)是:

(E),(C4,C43),(C42),(mx,my),(σu,σv)(E),(C_4, C_4^3),(C_4^2),(m_x, m_y),(\sigma_u, \sigma_v)(E),(C4​,C43​),(C42​),(mx​,my​),(σu​,σv​)

(群的直积) 令 H=(H1≡E,H2,H3,⋯,Hh)H=(H_1 \equiv E, H_2, H_3, \cdots, H_h)H=(H1​≡E,H2​,H3​,⋯,Hh​) 是 hhh 阶群, K=(K1≡E,K2,K3⋯Kk)K=(K_1 \equiv E, K_2, K_3 \cdots K_k)K=(K1​≡E,K2​,K3​⋯Kk​) 是 kkk 阶群,又设:

i) HHH 和 KKK 除 EEE 外无 其他公共元素;

ii) HHH 中的每一元素都与 KKK 中每一元素对易(即乘法可交换);

我们定义 HHH 和 KKK 两群的直积为阶等于 g=hkg=hkg=hk 的群 GGG, 其元素是 HHH 的每一元素和 KKK 的每一元素的积. 群的直积为:

G=H⊗K=(E,EK2,EK3,⋯,EKk,H2E,H2K2,⋯,H2Kk,⋯,HhKk)G=H \otimes K=(E, E K_2, E K_3, \cdots, E K_k, H_2 E, H_2 K_2, \cdots, H_2 K_k, \cdots, H_h K_k)G=H⊗K=(E,EK2​,EK3​,⋯,EKk​,H2​E,H2​K2​,⋯,H2​Kk​,⋯,Hh​Kk​)

C4vC_{4v}C4v​的子群可作为这一概念的简单例子.例如:

(E,mx)⊗(E,my)=(E,C42,mx,my)(E, m_x) \otimes(E, m_y)=(E, C_4^2, m_x, m_y)(E,mx​)⊗(E,my​)=(E,C42​,mx​,my​)

另一个例子来自机器人手臂,假设一个不带夹头的机械手臂的变换群是HHH,而可转动的夹头的变换群是KKK,这里的变换指的就是具备运动自由度的部位的转动,那么连接了夹头的机械手臂最终的变换群就是对应群的直积 G=H⊗KG=H \otimes KG=H⊗K: