【Python】Numpy分布函数总结
文章目录
- 总表
- 均匀分布和三角分布
- 幂分布
- 与正态分布相关的分布
- 与Gamma相关的分布
- 极值分布
总表
np.random中提供了一系列的分布函数，用以生成符合某种分布的随机数。下表中，如未作特殊说明，均有一个size参数，用以描述生成数组的尺寸。
这些分布函数会频繁的使用Γ\GammaΓ函数，其定义为
Γ(x)=∫0−∞tx−1d−tdt\Gamma(x)=\int_0^{-\infty}t^{x-1}d^{-t}\text dt Γ(x)=∫0−∞tx−1d−tdt
当xxx为整数时，Γ(x)=x!\Gamma(x)=x!Γ(x)=x!。
符号(nN)\binom{n}{N}(Nn)为组合符号，用Γ\GammaΓ函数表示为
(nN)=Γ(N)Γ(N−n)Γ(n)\binom{n}{N}=\frac{\Gamma(N)}{\Gamma(N-n)\Gamma(n)} (Nn)=Γ(N−n)Γ(n)Γ(N)
| 函数 | 概率密度函数(PDF) | 备注 |
|---|---|---|
| binomial(n, p) | p(N)=(nN)pN(1−p)n−Np(N) = \binom{n}{N}p^N(1-p)^{n-N}p(N)=(Nn)pN(1−p)n−N | 二项分布 |
| multinomial(n, pvals) | 多项分布 | |
| geometric§ | f(n)=(1−p)n−1pf(n)=(1-p)^{n-1}pf(n)=(1−p)n−1p | 几何分布 |
| negative_binomial(n, p) | p(N)=Γ(N+n)N!Γ(n)pn(1−p)Np(N)=\frac{\Gamma(N+n)}{N!\Gamma(n)}p^n(1-p)^Np(N)=N!Γ(n)Γ(N+n)pn(1−p)N | 负二项分布 |
| poisson([lam]) | f(k)=λke−λk!f(k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}f(k)=k!λke−λ | 泊松分布 |
| logseries§ | p(k)=−pkkln(1−p)p(k)=\frac{-p^k}{k\ln(1-p)}p(k)=kln(1−p)−pk | 对数级数分布 |
| gamma(shape[, scale]) | p(x)=xk−1e−x/θθkΓ(k)p(x)=x^{k-1}\frac{e^{-x/\theta}}{\theta^k\Gamma(k)}p(x)=xk−1θkΓ(k)e−x/θ | 伽马分布 |
| beta(a, b) | Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)xa−1(1−x)b−1\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)xa−1(1−x)b−1 | 贝塔分布 |
| dirichlet(alpha) | p(x)=∏i=1kxiαi−1p(x)=\prod_{i=1}^kx_i^{\alpha_i-1}p(x)=∏i=1kxiαi−1 | 狄利克雷分布 |
| logistic([loc, scale]) | p(x)=(x−μ)/ss(1+exp[−(x−μ)/s])2p(x)=\frac{(x-\mu)/s}{s(1+\exp[-(x-\mu)/s])^2}p(x)=s(1+exp[−(x−μ)/s])2(x−μ)/s | Logistic分布 |
| triangular(L, M, R) | 三角形分布 | |
| uniform([low, high]) | p(x)=1b−ap(x)=\frac{1}{b-a}p(x)=b−a1 | 均匀分布 |
| vonmises(mu, kappa) | p(x)=exp[κ(x−μ)]2πI0(κ)p(x)=\frac{\exp[{\kappa(x-\mu)}]}{2\pi I_0(\kappa)}p(x)=2πI0(κ)exp[κ(x−μ)] | von Mises分布 |
| zipf(a) | p(k)=k−aζ(a)p(k)=\frac{k^{-a}}{\zeta(a)}p(k)=ζ(a)k−a | 齐普夫分布 |
| pareto(a) | p(x)=maxap(x)=\frac{m^a}{x^{a}}p(x)=xama | 帕累托分布 |
| power(a) | p(x)=axa−1p(x)=ax^{a-1}p(x)=axa−1 | 幂分布 |
| gumbel([loc, scale]) | exp[−z−e−z],z=x−μλ\exp[{-z-e^{-z}}], z=\frac{x-\mu}{\lambda}exp[−z−e−z],z=λx−μ | 耿贝尔分布 |
| chisquare(df) | (1/2)k/2Γ(k/2)xk/2−1e−x/2\frac{(1/2)^{k/2}}{\Gamma(k/2)}x^{k/2-1}e^{-x/2}Γ(k/2)(1/2)k/2xk/2−1e−x/2 | 卡方分布 |
| f(dfnum, dfden) | F分布 | |
| noncentral_chisquare | 非中心卡方分布 | |
| noncentral_f | 非中心F分布 | |
| hypergeometric | p(x)=(gx)(bn−x)(g+bn)p(x)=\frac{\binom{g}{x}\binom{b}{n-x}}{\binom{g+b}{n}}p(x)=(ng+b)(xg)(n−xb) | 超几何分布 |
loc一般在函数中为μ\muμ, scale为λ\lambdaλ或kkk等。
I0I_0I0为0阶Bessel函数。
上表中，有一些概率密度表达式过于复杂，故而未列入表中。
首先，numpy提供了五种标准分布
| 概率密度表达式 | ||
|---|---|---|
| standard_cauchy() | 标准柯西分布 | P(x)=1π(1+x2)P(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}P(x)=π(1+x2)1 |
| standard_exponential() | 标准指数分布 | P(x)=e−xP(x)=e^{-x}P(x)=e−x |
| standard_gamma(k) | 标准伽马分布 | P(x)=xk−1e−xΓ(k)P(x)=x^{k-1}\frac{e^{-x}}{\Gamma(k)}P(x)=xk−1Γ(k)e−x |
| standard_normal() | 标准正态分布 | P(x)=e−x2P(x) = e^{-x^2}P(x)=e−x2 |
| standard_t(df) | 标准学生分布 |
详情可见Numpy中提供的五种标准随机分布详解
均匀分布和三角分布
所谓均匀分布，就是在事件空间中，所有事件的概率都是相等的连续分布，是最简单的分布函数，在(a,b)(a,b)(a,b)区间内，所有点差不多构成了一个矩形，所以均匀分布也叫矩形分布；和矩形分布相似，概率密度函数为三角形的分布，就是三角形分布。
Python均匀分布和三角形分布
幂分布
幂分布的形式是非常简单的，其概率密度函数为p(x)=axa−1p(x)=ax^{a-1}p(x)=axa−1，在Python中，除了幂分布之外，还提供了另外两种幂分布，记帕累托分布和奇普夫分布。
帕累托在1906年提出了有关意大利社会财富分配的分配规律，即20%的人口掌握了80%的财富，这个规律后来被发现十分普遍，以至于约瑟夫·朱兰后来将其称为帕累托法则，也被成为八二法则。
美国学者Zipf在研究词频的时候发现，如果统计一篇较长文章中的词频，并将词频按照高低从前向后依次排列，将频次最高的词记为1、次高的词记为2，依次类推，最后使用频率最低的词为N。若用f表示频次，r表示等级序号，则fr是常数，此即Zipf定律。
Python幂分布
与正态分布相关的分布
正态分布，最早由棣莫弗在二项分布的渐近公式中得到，而真正奠定正态分布地位的，却是高斯对测量误差的研究。测量是人类与自然界交互中必不可少的环节，测量误差的普遍性，确立了正态分布作用范围的广泛性，或许正因如此，正态分布才又被称为Gauss分布。
Python生成正态分布的随机数
若kkk个互相独立的随机变量ξ1,ξ2,⋯,ξk\xi_1, \xi_2,\cdots,\xi_kξ1,ξ2,⋯,ξk，均服从标准正态分布，则这k个随机变量的平方和构成一个新变量，新变量服从χ2\chi^2χ2分布。
Python卡方分布
与Gamma相关的分布
在我的印象中，二项分布貌似是高中学到的第一个分布，就算不是第一个，也是第一批。所以从理解上来说是不存在困难的，在NNN次独立重复的伯努利试验中，设A在每次实验中发生的概率均为ppp。则NNN次试验后A发生kkk次的概率分布，就是二项分布。
从二项分布到泊松分布
多项分布是对二项分布的一个自然的推广。
二项分布最常见的案例就是投硬币，那么投掷硬币可能有两个结果产生，所以谓之二项；如果把硬币改成骰子，由于骰子有6个面，相当于每次对应六个可能发生的结果，从而可以谓之六项分布。总而言之，把一个总体按照某种属性分成有限个类的时候，就会涉及到多项分布
Python生成多项分布随机数
Poisson分布指的是，单个事件在某一刻发生的概率。Gamma分布更进一步，指的是某个事件在某个时刻发生第nnn次的概率。
【Python】Gamma分布详解
投硬币，硬币是正还是反，这属于两点分布的问题。
疯狂投硬币，正面出现的次数，服从二项分布。
二项分布中，若特定时间内的伯努利试验次数趋于无穷大，那么在某一时刻发生某事件的概率，服从泊松分布。
在某一时刻，发生第N次事件，其概率服从Γ\GammaΓ分布。
回到抛硬币的问题，如果硬币出现正反的概率是未知的，考虑到时间地点重力等因素的不同，硬币出现正面的概率甚至可能是不稳定的，换言之，硬币出现正面的概率，或许也是服从某种分布的，此即Beta分布
【Python】Beta分布详解
极值分布
设X1,X2…,XnX_1,X_2\dots,X_nX1,X2…,Xn为从总体FFF中抽出的独立同分布样本，且
M=max(X1,…,Xn),m=min(X1,…,Xn)M=\max(X_1,\dots,X_n), m=\min(X_1,\dots,X_n) M=max(X1,…,Xn),m=min(X1,…,Xn)
若存在Cn>0C_n>0Cn>0和DnD_nDn，使得CnM+DnC_nM+D_nCnM+Dn按分布收敛于G(x)G(x)G(x)，则此G(x)G(x)G(x)为极大值分布，同理可定义极小值分布。Fisher和Tippett证明了极值分布只有三种形式，分别是
| I型 | G1(x)=exp(−e−x)G_1(x)=\exp(-e^{-x})G1(x)=exp(−e−x) | Gumbel分布 |
| II型 | G2(x)=exp(−x−α),x>0,α>0G_2(x)=\exp(-x^{-\alpha}), x>0, \alpha>0G2(x)=exp(−x−α),x>0,α>0 | Fréchet分布 |
| III型 | G3(x)=exp(−(−x)α),x<0,α>0G_3(x)=\exp(-(-x)^\alpha), x<0, \alpha>0G3(x)=exp(−(−x)α),x<0,α>0 | Weibull分布 |
Numpy中的Gumbel分布和Logistic分布
Python威布尔分布