投硬币，硬币是正还是反，这属于两点分布的问题。

疯狂投硬币，正面出现的次数，服从二项分布：【Python】从二项分布到泊松分布

二项分布中，若特定时间内的伯努利试验次数趋于无穷大，那么在某一时刻发生某事件的概率，服从泊松分布。

在某一时刻，发生第N次事件，其概率服从Γ\GammaΓ分布：【Python】Gamma分布详解

回到抛硬币的问题，如果硬币出现正反的概率是未知的，考虑到时间地点重力等因素的不同，硬币出现正面的概率甚至可能是不稳定的，换言之，硬币出现正面的概率，或许也是服从某种分布的。

暂且将这个概率设为θ\thetaθ，则经过n次伯努利试验，在θ\thetaθ发生的情况下，正面出现kkk次的概率为

π(k∣θ)=(nk)θk(1−θ)n−k\pi(k\vert\theta)=\binom{n}{k}\theta^k(1-\theta)^{n-k} π(k∣θ)=(kn​)θk(1−θ)n−k

由于这个θ\thetaθ实际上是未知的，但这个PPP却可通过不断地伯努利试验来去逼近，所以接下来就可以通过贝叶斯公式，来将θ\thetaθ表达出来

π(θ∣k)=π(k∣θ)π(θ)∫π(k∣θ)π(θ)dθ\pi(\theta\vert k)=\frac{\pi(k\vert\theta)\pi(\theta)}{\int\pi(k|\theta)\pi(\theta)\text d\theta} π(θ∣k)=∫π(k∣θ)π(θ)dθπ(k∣θ)π(θ)​

其中，π(θ∣k)\pi(\theta\vert k)π(θ∣k)表示kkk发生的情况下，θ\thetaθ发生的概率；π(θ)\pi(\theta)π(θ)为θ\thetaθ发生的概率。

设θ\thetaθ服从均匀分布，则在(0,1)(0,1)(0,1)范围内，其概率密度π(θ)=1\pi(\theta)=1π(θ)=1，于是π(θ∣k)\pi(\theta\vert k)π(θ∣k)可以写为

π(θ∣k)=θk(1−θ)n−k∫θk(1−θ)n−kdθ\pi(\theta\vert k)=\frac{\theta^k(1-\theta)^{n-k}}{\int\theta^k(1-\theta)^{n-k}\text d\theta} π(θ∣k)=∫θk(1−θ)n−kdθθk(1−θ)n−k​

由于Γ(x)=∫0∞tx−1e−tdt\Gamma(x)=\int^\infty_0t^{x-1}e^{-t}\text dtΓ(x)=∫0∞​tx−1e−tdt，则上式可写为

π(θ∣k)=Γ(n+1)Γ(k+1)Γ(n−k+1)θk(1−θ)n−k\pi(\theta\vert k)=\frac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(k+1)\Gamma(n-k+1)}\theta^k(1-\theta)^{n-k} π(θ∣k)=Γ(k+1)Γ(n−k+1)Γ(n+1)​θk(1−θ)n−k

此即B\BetaB分布。

所以，B\BetaB分布就是在抛nnn次硬币，出现kkk次正面后，则单次抛硬币出现正面的概率。

在Numpy中，random.beta(a,b)即为B\BetaB分布，其表达式为p(x)=Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)xa−1(1−x)b−1p(x)=\frac{\Gamma(a+b)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}p(x)=Γ(a)Γ(b)Γ(a+b)​xa−1(1−x)b−1。

显而易见，当a=b=1a=b=1a=b=1时，p(x)=1p(x)=1p(x)=1，退化为均匀分布。

当a和b的取值不同时，B\BetaB分布表现出不同的分布特性

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy.random import betaa_s = [0.5, 5, 1, 2, 2]
b_s = [0.5, 1, 3, 2, 5]for a,b in zip(a_s, b_s):xs = beta(a, b, size=20000)plt.hist(xs, 100, alpha=0.5, label=f"a={a}, b={b}")plt.legend()
plt.show()

效果为