【数据结构】堆（二）——堆排序、TOP-K问题
作者：一个喜欢猫咪的的程序员
专栏：《数据结构》
喜欢的话：世间因为少年的挺身而出，而更加瑰丽。 ——《人民日报》
目录
堆排序：（以小堆为例）
Heapsort函数（堆排序）：
向下调整具体的时间复杂度：
向上调整具体的时间复杂度：
如何实现堆排序
TOP-K问题：
堆排序：（以小堆为例）
堆的分类：
- 升序or降序
- 大堆or小堆
void test2()
{//堆排序int array[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };Heapsort(array, sizeof(array) / sizeof(array[0]));for (int i = 0; i < sizeof(array) / sizeof(array[0]); i++){printf("%d ", array[i]);}printf("\n");}Heapsort函数（堆排序）：
int array[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };
需将这个数组进行大堆排列，分为两种调整形式：向上调整和向下调整。
向上调整和向下调整的思想可以参考我的例外一篇博客：http://t.csdn.cn/YFSpd
void Ajustup(HPDataType*a, int child)
{//N*logNassert(a);//int child = n - 1;while (child > 0){int parent = (child - 1) / 2;if (a[child] > a[parent]){Swap(&a[child], &a[parent]);child = parent;}else{break;}}
}
void Ajustdown(HPDataType* a, int n,int parent)
{//O(N)assert(a);int child = 2 * parent+1;while (child a[parent])//>大堆，<为小堆{Swap(&a[child], &a[parent]);parent = child;child = child * 2 + 1;}else{break;}}
} 向上调整和向下调整具体的时间复杂度是多少呢？
向下调整具体的时间复杂度：
假设树高为h
第h层，有2^(h-1）个节点，需要向下调整0次（直接不算，从第h-1层开始算）。
第h-1层，有2^（h-2）个节点，需要向下调整1层。
第h-2层，有2^（h-3）个节点，需要向下调整2层。
......
第4层，有2^3个节点，需要向下调整h-4层。
第3层，有2^2个节点，需要向下调整h-3层。
第2层，有2^1个节点，需要向下调整h-2层。
第1层，有2^0个节点，需要向下调整h-1层。
当h高的次数，最多调整层数为：
F（h）=2^0*（h-1）+2^1*(h-2)+2^2*(h-3)+...+2^(h-3)*2+2^(h-2)*1+2^(h-1)*0 ——①
2*F（h）=2^1*（h-1）+2^2*(h-2)+2^3*(h-3)+...+2^(h-2)*2+2^(h-1)*1+2^(h)*0 ——②
有错位相减②-①可得：
F（h）=-2^0*（h-1）+2^1+2^2+....+2^(h-2)+2^(h-1)
F（h）=2^h-1-h ——③
当树高为h时，节点总个数N为：
N=2^0+2^1+...+2^（h-2）+2^（h-1）
N=2^h-1 ——④
有④可得：h=log（N+1） ——⑤
综合③④⑤可得：
F（N）=N-log（N+1）
- 因此时间复杂度为O（N）
向上调整具体的时间复杂度：
在一层，需要向上调整0次
第二层，向上调整1次
第三层，向上调整2次
...
第h-1层，向上调整h-2次
第h层，向上调整h-1次
F（h）=2^1*1+2^2*2+....+2^(h-1)*(h-1)。
由错位相减可得：
F(N)=2N(1-log(N+1))。
- 时间复杂度为O（N*logN）
如何实现堆排序
显然向下调整优于向上调整。
先利用Ajustdown排序好数组，然后再用交换Ajustdown实现小堆。
void Heapsort(int*a,int n)//堆排序
{//向上调整for (int i = 1; i = 0; i--){Ajustdown(a, n, i);}int end = n - 1;while (end>0){Swap(&a[0], &a[end]);Ajustdown(a, end, 0);end--;}//N*logN
}
void test2()
{//堆排序int array[] = { 27,15,19,18,28,34,65,49,25,37 };Heapsort(array, sizeof(array) / sizeof(array[0]));for (int i = 0; i < sizeof(array) / sizeof(array[0]); i++){printf("%d ", array[i]);}printf("\n");} TOP-K问题：
TOP-K问题：即求数据结合中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。
比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
当数据量特别大时，我们造一个数组来存储他们依次存储时，就不大现实。
可以先开一个K个空间的数组，将这个数据量的前K个放进去，将他们小堆排列，并将这个数据量每个数与堆顶的元素相比较，比它大就替代它进入数组，在向下排列，以此循环。
void test3()
{int minHeap[5];FILE* fout = fopen("data.txt", "r");if (fout == NULL){perror("fopen fail");exit(-1);}int k = sizeof(minHeap) / sizeof(minHeap[0]);for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fout,"%d",&minHeap[i]);}for (int i = 0; i < sizeof(minHeap) / sizeof(minHeap[0]); i++){//检查是否录入数据printf("%d ", minHeap[i]);}printf("\n");for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){Ajustdown(minHeap, k, i);}for (int i = 0; i < sizeof(minHeap) / sizeof(minHeap[0]); i++){//检查是否为大小堆printf("%d ", minHeap[i]);}printf("\n");int data = 0;while (fscanf(fout, "%d", &data) != EOF){if (data > minHeap[0]){minHeap[0] = data;Ajustdown(minHeap, k, 0);}}int end = k - 1;while (end > 0){Swap(&minHeap[0], &minHeap[end]);Ajustdown(minHeap, end, 0);end--;}//完成升序或者降序for (int i = 0; i < sizeof(minHeap) / sizeof(minHeap[0]); i++){//检查是否为大小堆printf("%d ", minHeap[i]);}printf("\n");fclose(fout);
}
void test4()
{int n, k;scanf("%d %d", &n, &k);FILE* fint = fopen("data1.txt", "w");if (fint == NULL){perror("fopen fail");exit(-1);}srand(time(0));int randK = k;for (size_t i = 0; i < n; ++i){int data = rand() % 100000;fprintf(fint, "%d\n", data);}fclose(fint);int* minHeap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);FILE* fout = fopen("data1.txt", "r");if (fout == NULL){perror("fopen fail");exit(-1);}for (int i = 0; i < k; i++){fscanf(fout, "%d", &minHeap[i]);}for (int i = 0; i < k; i++){//检查是否录入数据printf("%d ", minHeap[i]);}printf("\n");for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--){Ajustdown(minHeap, k, i);}for (int i = 0; i < k; i++){//检查是否为大小堆printf("%d ", minHeap[i]);}printf("\n");int data = 0;while (fscanf(fout, "%d", &data) != EOF){if (data > minHeap[0]){minHeap[0] = data;Ajustdown(minHeap, k, 0);}}int end = k - 1;while (end > 0){Swap(&minHeap[0], &minHeap[end]);Ajustdown(minHeap, end, 0);end--;}//完成升序或者降序for (int i = 0; i < k; i++){//检查是否为大小堆，升序或者降序printf("%d ", minHeap[i]);}printf("\n");fclose(fout);
}
int main()
{//test1();test2();//test3();//test4();return 0;
}