差分方程解的稳定性

创始人

2024-04-10 04:20:27

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Heine定理

$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=b$ 存在的充要条件是:

取 f(x) 定义域内的任意数列 $\begin{Bmatrix} a_n \end{Bmatrix},\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=a$ ,有 $\lim_{n\rightarrow \infty}f(a_n)=b$

差分的定义

考虑离散型变量 x_0,x_1,...,x_k,...

一阶差分为: $\Delta x_k=x_{k+1}-x_k$

二阶差分为: $\Delta^2 x_k=\Delta(\Delta x_k)=\Delta x_{k+1}-\Delta x_k=x_{k+2}-2x_{k+1}+x_k$

线性差分方程的解

非齐次差分方程的解

满足初始条件

$x_{k_0}=x(0),x_{k_0+1}=x(1),...,x_{k_0+n-1}=x(n-1)$

的n阶非齐次线性差分方程

$x_{k+n}+a_1(k)x_{k+n-1}+...+a_{n-1}(k)x_{k+1}+a_n(k)x_k=b(k)$

的解是存在且唯一的

非齐次线性差分方程的通解结构:

$x_k=\zeta _0(k)+\sum_{i=1}^nc_i\zeta_i(k),k\ge k_0$

齐次差分方程的解

线性相关与无关

n个定义在 $k\ge k_0$ 上的函数 x_1(k),x_2(k),...,x_n(k) ,如果存在n个不全为零的常数 C_1,C_2,...,C_n ,使得

$\sum_{i=1}^nC_ix_i(k)\equiv 0,\forall k\ge k_0$

则称 x_1(k),x_2(k),...,x_n(k) 在 $k\ge k_0$ 上线性相关

齐次方程

$x_{k+n}+a_1(k)x_{k+n-1}+...+a_{n-1}(k)x_{k+1}+a_n(k)x_k=0$

齐次方程的解满足叠加原理

一阶线性齐次差分方程组

$X(k+1)=A(k)X(k),k\geq k_0$

$X(k+1)=A(k)X(k)+g(k),k\geq k_0$

n阶常系数线性差分方程

$x_{k+n}+a_1x_{k+n-1}+a_2x_{k+n-2}+...+a_nx_k=0$

特征方程: $\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+...+a_n=0$

若 $\lambda_0$ 为特征方程的j重实根, 则与之相应的j个线性无关解为 $\lambda^k,k\lambda^k,...k^{j-1}\lambda^k$

若 $\lambda_0=\alpha\pm i\beta=re^{i\theta}$ 为特征方程的j重复根, 则与之相应的2j个线性无关解为:

$\begin{matrix} r^kcos\,k\theta,kr^kcos\,k\theta,...,k^{j-1}r^kcos\,k\theta\\ r^ksin\,k\theta,kr^ksin\,k\theta,...,k^{j-1}r^ksin\,k\theta \end{matrix}$

n=1

一阶非线性差分方程 $X_{k+1}=f(X_k)$ 的解 X^* 称为方程的平衡点

平衡点的（一致）渐近稳定性

平衡点的指数稳定性

自治系统平衡点稳定性的判定

自治系统:

$X_{k+1}=f(X_k)$

$X_{k+1}=f(X_k)=f'(X^*)(X_k-X^*)+f(X_k)-f'(X^*)(X_k-X^*)$

f'(X^*) 是在 X^* 点的Jacobi Matrix

定理 $X_{k+1}=f'(X^*)(X_k-X^*)+f(X^*),Y_{k+1}=f'(X^*)Y_k$

常系数n阶方程的平衡点及其稳定性

总之

对于一阶常系数线性差分方程
- 平衡点
- 稳定的平衡点的充要条件
对于n维向量，
- 平衡点稳定的充要条件是A所有的特征根的绝对值都小于1
对于二阶常系数线性差分方程
- 平衡点稳定的充要条件是特征方程的根的绝对值小于1
一阶非线性差分方程
- 稳定点
- 时，平衡点是稳定的

几个常见的差分方程模型

$x_k=x_{k-1}(1+r)-a,k=1,2,3,...,n$

$x_k=x_0(1+r)^k-a\frac{(1+r)^k-1}{r}$

$x_k=x_{k-1}-r\frac{x_0}{n},k=2,...,n$

$x_k=\frac{x_0}{n}+x_0(1-\frac{k-1}{n})r$

$\left\{\begin{matrix} y_k=f(x_k)\\ x_{k+1}=h(y_k) \\y_k-y_0=-\alpha(x_k-x_0),\alpha=-f'(x_0)>0\\ x_{k+1}-x_0=\beta(y_k-y_0),\beta=h'(y_0)>0 \end{matrix}\right.$

$\alpha \beta <1,x_k\rightarrow x_0$

Python 解差分方程

import sympy as sp
sp.var("k")
sp.var("x",cls=sp.Function)f = x(k+1)-x(k)-3-2*k
f = sp.rsolve(f,x(k))
f = sp.simplify(f)
print(f)

词库加载错误:未能找到文件“E:\highferrum_mysql\Configuration\Dict_Stopwords.txt”。

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