Matlab：浮点数

• 双精度浮点
• 单精度浮点
• 创建浮点数据
• • 创建双精度数据
  • 创建单精度数据
• 浮点数的算术运算
• • 双精度运算
  • 单精度运算
• 浮点类的最大值和最小值
• • 最大和最小双精度值
  • 最大和最小单精度值
• 浮点数据的精度
• • 双精度数的精度
  • 单精度数的精度
• 避免浮点算术运算出现常见问题
• • 示例 1 - 舍入或您所获得的不是所期望的
  • 示例 2 - 具有灾难性后果的取消操作
  • 示例 3 - 浮点运算和线性代数

双精度浮点

MATLAB 根据适用于双精度的 IEEE® 754 标准来构造双精度（即 double）数据类型。以 double 形式存储的任何值都需要 64 位，并按照下表所示进行格式化：

单精度浮点

MATLAB 根据适用于单精度的 IEEE 754 标准来构造单精度（即 single）数据类型。以 single 形式存储的任何值都需要 32 位，并按照下表所示进行格式化：

由于 MATLAB 使用 32 位来存储 single 类型的数值，因此与使用 64 位的 double 类型的数值相比，前者需要的内存更少。但是，由于它们是使用较少的位存储的，因此 single 类型的数值所呈现的精度要低于 double 类型的数值。

创建浮点数据

一般使用双精度来存储大于 3.4 x 1038 或约小于 -3.4 x 1038 的值。对于位于这两个范围之间的数值，您可以使用双精度，也可以使用单精度，但单精度需要的内存更少。

创建双精度数据

由于 MATLAB 的默认数值类型为 double，因此您可以通过一个简单的赋值语句来创建 double 值：

x = 25.783;
whos 函数显示，MATLAB 已为您刚在 x 中存储的值创建了一个 double 类型的 1x1 数组：

whos x
Name Size Bytes Class

x 1x1 8 double
如果您只想验证 x 是否为浮点数，请使用 isfloat。如果输入为浮点数，此函数将返回逻辑值 1 (true)，否则返回逻辑值 0 (false)：

isfloat(x)
ans =

logical

1
您可以使用 MATLAB 函数 double 将其他数值数据、字符或字符串以及逻辑数据转换为双精度值。以下示例将有符号整数转换为双精度浮点数：

y = int64(-589324077574); % Create a 64-bit integer

x = double(y) % Convert to double
x =
-5.8932e+11

创建单精度数据

由于 MATLAB 默认情况下以 double 形式存储数值数据，因此您需要使用 single 转换函数来创建单精度数：

x = single(25.783);
whos 函数在结构体中返回变量 x 的属性。此结构体的 bytes 字段显示，当以 single 形式存储 x 时，该变量仅需要 4 字节，而以 double 形式存储则需要 8 字节：

xAttrib = whos(‘x’);
xAttrib.bytes
ans =
4
您可以使用 single 函数将其他数值数据、字符或字符串以及逻辑数据转换为单精度值。以下示例将有符号整数转换为单精度浮点数：

y = int64(-589324077574); % Create a 64-bit integer

x = single(y) % Convert to single
x =

single

-5.8932e+11

浮点数的算术运算

此部分介绍您可以在算术运算中将哪些类与浮点数一起使用。

双精度运算

您可以使用 double 和以下的任何其他类来执行基本算术运算。如果一个或多个操作数为整数（标量或数组），则 double 操作数必须为标量。运算结果默认为 double 类型，除非另有说明：

single - 结果为 single 类型

double

int* 或 uint* - 结果与整数操作数具有相同的数据类型

char

logical

以下示例对 char 和 double 类型的数据执行算术运算。结果为 double 类型：

c = ‘uppercase’ - 32;

class©
ans =
double

char©
ans =
UPPERCASE

单精度运算

您可以使用 single 和以下的任何其他类来执行基本算术运算。运算结果始终为 single：

single

double

char

logical

在以下示例中，7.5 默认为 double 类型，结果为 single 类型：

x = single([1.32 3.47 5.28]) .* 7.5;

class(x)
ans =
single

浮点类的最大值和最小值

double 和 single 类都存在可以用该类型表示的最大数和最小数。

最大和最小双精度值

MATLAB 函数 realmax 和 realmin 分别返回可以用 double 数据类型表示的最大值和最小值：

str = ‘The range for double is:\n\t%g to %g and\n\t %g to %g’;
sprintf(str, -realmax, -realmin, realmin, realmax)

ans =
The range for double is:
-1.79769e+308 to -2.22507e-308 and
2.22507e-308 to 1.79769e+308
大于 realmax 或小于 -realmax 的数分别被赋予正无穷和负无穷值：

realmax + .0001e+308
ans =
Inf

-realmax - .0001e+308
ans =
-Inf

最大和最小单精度值

在用参数 ‘single’ 调用 MATLAB 函数 realmax 和 realmin 时，这两个函数会分别返回可以用 single 数据类型表示的最大值和最小值：

str = ‘The range for single is:\n\t%g to %g and\n\t %g to %g’;
sprintf(str, -realmax(‘single’), -realmin(‘single’), …
realmin(‘single’), realmax(‘single’))

ans =
The range for single is:
-3.40282e+38 to -1.17549e-38 and
1.17549e-38 to 3.40282e+38
大于 realmax(‘single’) 或小于 -realmax(‘single’) 的数分别被赋予正无穷和负无穷值：

realmax(‘single’) + .0001e+038
ans =

single

Inf

-realmax(‘single’) - .0001e+038
ans =

single

-Inf

浮点数据的精度

如果浮点算术计算的结果不如预期的精确，可能是由于您的计算机硬件的限制所致。由于硬件缺乏足够的位而无法呈现具有完美精度的结果，计算机可能会将结果值截断，使得结果值不够准确。

双精度数的精度

由于双精度数的数量有限，因此您无法在双精度存储中表示所有数值。在任何计算机上，每个双精度数和下一个更大的双精度数之间都存在一个较小的间隔。您可以使用 eps 函数确定此间隔的大小，该大小限制了您的结果的精度。例如，要计算 5 和下一个更大的双精度数之间的间距，请输入

format long

eps(5)
ans =
8.881784197001252e-16
这表明，5 和 5 + eps(5) 之间不存在任何双精度数。如果某个双精度计算返回答案 5，则结果仅精确到 eps(5) 之内。

eps(x) 的值取决于 x。以下示例显示，当 x 变得更大时，eps(x) 也会变得更大：

eps(50)
ans =
7.105427357601002e-15
如果您输入不带输入参数的 eps，MATLAB 将返回 eps(1) 的值（从 1 到下一个更大的双精度数之间的间距）。

单精度数的精度

同样，两个单精度数之间也存在间隔。如果 x 的类型为 single，则 eps(x) 返回 x 和下一个更大的单精度数之间的间距。例如，

x = single(5);
eps(x)
返回

ans =

single

4.7684e-07
请注意，此结果大于 eps(5)。由于单精度数的数量少于双精度数的数量，因此单精度数之间的间隔也大于双精度数之间的间隔。这意味着，单精度算术运算的结果精度要低于双精度算术运算的结果精度。

对于类型为 double 的双精度数 x，eps(single(x)) 的计算值即为将 x 从 double 转换为 single 时的舍入上限。例如，当您将双精度数 3.14 转换为 single 时，它会通过以下方式进行舍入

double(single(3.14) - 3.14)
ans =
1.0490e-07
3.14 舍入的数量小于

eps(single(3.14))
ans =

single

2.3842e-07

避免浮点算术运算出现常见问题

MATLAB 中几乎所有运算都是通过符合 IEEE 754 标准的双精度算术运算执行的。由于计算机仅将数值表示为有限精度（双精度需要 52 个尾数位），因此计算有时会生成数学上的非预期结果。务必注意，这些结果并非 MATLAB 中的错误。

使用以下示例来帮助您确定这些情况：

示例 1 - 舍入或您所获得的不是所期望的

十进制数 4/3 不能精确表示为二进制分数。为此，以下计算的结果不是零，而是显示数量 eps。

e = 1 - 3*(4/3 - 1)

e =
2.2204e-16
同样，0.1 也不能精确表示为二进制数。因此，您会发现以下非预期行为：

a = 0.0;
for i = 1:10
a = a + 0.1;
end
a == 1
ans =

logical

0
请注意，计算中运算的顺序会很重要：

b = 1e-16 + 1 - 1e-16;
c = 1e-16 - 1e-16 + 1;
b == c
ans =

logical

0
浮点数之间存在间隔。当数值变得越大时，间隔也会变得越大，如以下所示：

(2^53 + 1) - 2^53

ans =
0
由于 pi 实际上不是 π，因此 sin(pi) 不精确为零并不足为奇：

sin(pi)

ans =
1.224646799147353e-16

示例 2 - 具有灾难性后果的取消操作

对几乎相等的操作数执行减法时，有时可能会发生意外取消。以下是因淹没（使加法没有意义的精度损失）导致的取消的示例。

sqrt(1e-16 + 1) - 1

ans =
0
MATLAB 中的某些函数（例如 expm1 和 log1p）可用于弥补这种灾难性取消所造成的影响。

示例 3 - 浮点运算和线性代数

解决线性代数的问题时，舍入、取消和浮点算术运算的其他一些特性结合起来时，可能产生令人意想不到的运算。MATLAB 会警告下面的矩阵 A 是病态的，因此即便是细微的扰动，都可能对方程组 Ax = b 产生很大的影响：

A = diag([2 eps]);
b = [2; eps];
y = A\b;
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled.
Results may be inaccurate. RCOND = 1.110223e-16.
这些只是几个例子，用于说明 IEEE 浮点算术运算如何影响 MATLAB 中的计算。请注意，IEEE 754 算术运算中执行的所有计算都会受到影响，这包括用 C 或 FORTRAN 编写的应用程序以及 MATLAB。

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