小蓝本 第一本《因式分解技巧》 第二章 应用公式 笔记（第二天）

• 前言
• 二代——应用公式
• • 常见公式
  • 公式场景
  • 公式分类
  • • 基本
    • 间接推导
• 公式(9)、(10)的推导
• • 问题
  • 分解方法
  • • 方法1
    • 方法2
    • 公式推导
    • 总结：对照思想
• 小技巧与注意事项
• 习题2
• • 题目
  • 题解
  • 经验

前言

第二天open

二代——应用公式

常见公式

(1) a2−b2=(a+b)(a−b)a^2-b^2=(a+b)(a-b)a2−b2=(a+b)(a−b)
(2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)
(3)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)a3−b3=(a−b)(a2+ab+b2)
(4)a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2a2+2ab+b2=(a+b)2
(5)a2−2ab+b2=(a−b)2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2a2−2ab+b2=(a−b)2
(6)a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3
(7)a3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)3a^3-3a^2b+3ab^2-b^3=(a-b)^3a3−3a2b+3ab2−b3=(a−b)3
(8)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)^2a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
(9)a4+a2b2+b4=(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)a4+a2b2+b4=(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)
(10)a6−b6=(a+b)(a−b)(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)a^6-b^6=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)a6−b6=(a+b)(a−b)(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)
(11)aⁿ + bⁿ=(a+b)(a^n-1 - a^n-2b+a^n-3b^2 - … - ab^n-2+b^n-1) (n为正奇数)
(12)aⁿ - bⁿ=(a-b)(a^n-1 + a^n-2b+a^n-3b^2 + … + ab^n-2+b^n-1) （n为正奇数）

公式场景

1. 公式(1)理论上用的最多
2. 公式(2)、(3)符号极容易搞错，请注意
3. 公式(4)、(5) 是公式(8)的特例

公式分类

基本

1. 平方差: (1)
2. 完全平方：(4) (5) (8)
3. 立方和与立方差： (2) (3)
4. 完全立方：(6) (7)

平方式一般用十字相乘法解决 --> 见第五章

间接推导

(9) (10) (11) (12)

公式(9) 在第四章有另一种方式的推导

公式(9)、(10)的推导

问题

因式分解 a6−b6a^6-b^6a6−b6

分解方法

方法1

公式(3)+公式(1)
原式
=(a2)3−(b2)3= (a^2)^3-(b^2)^3=(a2)3−(b2)3
=(a2−b2)(a4+a2b2+b4)=(a^2-b^2)(a^4+a^2b^2+b^4)=(a2−b2)(a4+a2b2+b4)
=(a+b)(a−b)(a4+a2b2+b4)=(a+b)(a-b)(a^4+a^2b^2+b^4)=(a+b)(a−b)(a4+a2b2+b4)

方法2

公式(1)+公式(2)+公式(3)
原式
=(a3)2−(b3)2=(a^3)^2-(b^3)^2=(a3)2−(b3)2
=(a3+b3)(a3−b3)=(a^3+b^3)(a^3-b^3)=(a3+b3)(a3−b3)
=(a+b)(a−b)(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)=(a+b)(a−b)(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)

公式推导

∵(a2)3−(b2)3=(a3)2−(b3)2(a^2)^3-(b^2)^3=(a^3)^2-(b^3)^2(a2)3−(b2)3=(a3)2−(b3)2
∴(a+b)(a−b)(a4+a2b2+b4)=(a+b)(a−b)(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)(a+b)(a-b)(a^4+a^2b^2+b^4)=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)(a+b)(a−b)(a4+a2b2+b4)=(a+b)(a−b)(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)
∴a4+a2b2+b4=(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)a^4+a^2b^2+b^4=(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)a4+a2b2+b4=(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)
∴公式(9)推导如此
∴a6−b6=(a+b)(a−b)(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)a^6-b^6=(a+b)(a-b)(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)a6−b6=(a+b)(a−b)(a2+ab+b2)(a2−ab+b2)
∴公式(10)推导如此

总结：对照思想

因式分解同一个整式如果有多种走向，最终结果不一样时，对比一下，就可以得到新的公式

小技巧与注意事项

1. 因式分解中可能需要多次应用公式或提公因式，直到不能继续分解为止
2. 按某个字母的降幂排列是一个简单而有用的措施（简单的往往是有用的）

习题2

题目

题解

经验

提升把代数式整体看成一个字母的意识