数据结构与算法中的图

图的定义与术语

在线性结构之间，数据元素之间满足唯一的线性关系。每个数据元素（除第一个和最后一个外）只有一个****直接前趋和直接后继**
在树形结构中，数据元素之间有着明显的层次关系，并且每个数据元素只与上一层中的一个元素，（parenet node)及下一层中的多个元素（孩子节点）相关。
（线性结构、树形结构、图形结构）
在图形结构中，节点之间的关系是任意的，图中的任意两个数据元素之间都有可能相关。因此说，图是一种复杂的非线性结构。

图用G=(V,E)G = (V,E)G=(V,E)表示，其中：

• VVV是顶点（vertex)的集合。
• EEE是边（edge)的集合。
  根据图中的边是否有方向，可以分为有向图和无向图。

无向图

对于一个图，若每条边都是没有方向的。则称该图为无向图。

有向图

对于一个图，若每条边都是有方向的，则称该图为有向图。

完全图

任意两个节点都有一条边相相连。

稀疏图

有很少边或弧的图，其指标为稀疏因子，若稀疏因子小于0.05，可认为是稀疏图。

密集图

有较多边或弧的图。

顶点的度

对于无向图，顶点的度表示以该顶点作为一个端点边的数目，比如上面的无向图，中顶点V3V_3V3​的度D(V3)=3D(V_3) = 3D(V3​)=3
对于有向图，顶点的度分为入度和出度。某一顶点的度等于其入读和出度之和。

入度

入度表示以该顶点为终点的入边的数目。

出度

出度以该顶点为起点的出边的数目。

子图

路径

换句话说，路径都是从图上的一点出发，到图上另一点的方法。
从图上的一点出发，到图上另一点的方法可能不止一个，即可能有多个路径。

回路

回路也称为环，简单来说，回路是指一条路径的终点和起点为同一个顶点。

无向图中，如果两个节点之间有平行边，容易让人误看作环。

网络

带权重的连通图称为网。

图的存储结构

相邻矩阵

图的相邻矩阵，或邻接矩阵，表示顶点之间的邻接关系。即有没有边。

有向图的相邻矩阵

无向图的相邻矩阵

邻接表

对于稀疏图，可以采用邻接表存储法。

• 边较少，相邻矩阵就会出现大量的零元素
• 相邻矩阵的零元素就会耗费大量的存储空间和时间。

顶点和边的信息如下：

无向图的邻接表示

无向图同一条边，在邻接表中出现两次。

上面的图用邻接表可以表示：

带权图的邻接表表示

有向图的邻接表（出边表）

有向图逆邻接表（入边表）

十字链表

十字链表可以看作是邻接表和逆邻接表的结合。
对应于有向图的每一条弧有一个条目：共有5个域：

• 头 ： headvex
• 尾：tailvex
• 下一条共尾弧：tailnextarc
• 下一条共弧： headnextarc
• 弧权值等info域。

顶点表目有3个域组成：

• data 域
• firstinarc 第一条以该顶点为终点的弧
• firstoutarc 第一条以该顶点为始点的弧
  
  十字链表有两组链表组成：
• 行和列的指针序列
  每个结点都包含两个指针：
• 同一行的后继
• 同一列的后继
  

图的遍历

图的遍历是给出一个图GGG和其中的任意一个顶点V0V0V0,从V0V0V0出发系统的访问GGG中的所有的顶点，每个顶点访问而且只访问一次。

从一个顶点出发，试探性的访问其余顶点，同时必须考虑到下列情况：

• 从一个顶点出发，可能不能到达所有其他的顶点，如非连通图。
• 也有可能会陷入死循环，如存在回路的图。
  一般情况下，可以为每个顶点保留一个标志位：
• 算法开始时，所有顶点的标志位置零。
• 在遍历过程中，当某个顶点被访问时候，其标志位就会被标记为已访问。

深度优先遍历

深度优先搜索（简称DFS) 类似于树的先根次序遍历，尽可能先对纵深方向进行搜索：

** 选取一个未访问的点 v0v0v0 作为源点

• 访问顶点$ v0$
• 递归地深搜遍历 $v0 $邻接到的其他顶点
• 重复上述过程直至从 $v0 $有路径可达的顶点都已被访问过
• 再选取其他未访问顶点作为源点做深搜，直到图的所有顶点都被访问过。

深度优先遍历的顺序是:

广度优先遍历

*** 广度优先搜搜**，其遍历过程是：

• 从图中的某个顶点 v0 出发
• 访问并标记了顶点 v0 之后
• 一层层横向搜索 v0 的所有邻接点
• 对这些邻接点一层层横向搜索，直至所有由 v0 有路径可达的顶点都已被访问过
• 再选取其他未访问顶点作为源点做广搜，直到所有点都被访问过
  
  广度优先搜索的顺序是：
  

最短路径

单源最短路径

迪杰斯特拉算法

算法单源最短路径迭代过程：

该算法是贪心法， 不适用于负权值的情况，因为权直当做最小取进来后，不会返回去重新计算，即使不存在负的回路，也可能有在后面出现的负权值，从而导致整体计算错误。

每对结点间的最短路径

Floyd算法对每对结点之间的最短路径。
用邻接矩阵adj来表示带权有向 图。

基本思想

最小生成树

图GGG的生成树是一颗包含所有顶点的树，树上的所有权值总和表示代价，那么在GGG的所有的生成树中，代价最小的生成树，称为GGG的最小生成树。

总结

不用太在意，慢慢的总结完整后，开始研究图结构及其存储，全部将其搞定都行啦的样子与打算。
不用太在意，其他的学习，要学会用可以用计算机自动计算出来‘
先助攻研读论文在说其他的样子域打算。