今日主要总结一下动态规划完全背包的一道题目，377. 组合总和 Ⅳ

题目：377. 组合总和 Ⅳ

Leetcode题目地址
题目描述：
给你一个由 不同 整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target 。请你从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。

题目数据保证答案符合 32 位整数范围。

示例 1：

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。
示例 2：

输入：nums = [9], target = 3
输出：0

提示：

1 <= nums.length <= 200
1 <= nums[i] <= 1000
nums 中的所有元素 互不相同
1 <= target <= 1000

本题重难点

这是一道典型的背包问题，本题给定的数组里面的元素可以重复取，所以这是一个完全背包。

本题题目描述说是求组合，但又说是可以元素相同顺序不同的组合算两个组合，其实就是求排列！

弄清什么是组合，什么是排列很重要。

组合不强调顺序，(1,5)和(5,1)是同一个组合。

排列强调顺序，(1,5)和(5,1)是两个不同的排列。

但其本质是本题求的是排列总和，而且仅仅是求排列总和的个数，并不是把所有的排列都列出来。

如果本题要把排列都列出来的话，只能使用回溯算法爆搜。

动规五部曲分析如下：

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i]: 凑成目标正整数为i的排列个数为dp[i]

2. 确定递推公式
   dp[i]（考虑nums[j]）可以由 dp[i - nums[j]]（不考虑nums[j]） 推导出来。
   因为只要得到nums[j]，排列个数dp[i - nums[j]]，就是dp[i]的一部分。
   在一文搞懂0 - 1背包之494. 目标和问题和 一文搞懂完全背包之518. 零钱兑换 II问题中我们已经讲过了，求装满背包有几种方法，递推公式一般都是dp[i] += dp[i - nums[j]];
   本题也一样。

3. dp数组如何初始化
   因为递推公式dp[i] += dp[i - nums[j]]的缘故，dp[0]要初始化为1，这样递归其他dp[i]的时候才会有数值基础。
   至于dp[0] = 1 有没有意义呢？
   其实没有意义，所以我也不去强行解释它的意义了，因为题目中也说了：给定目标值是正整数！ 所以dp[0] = 1是没有意义的，仅仅是为了推导递推公式。
   至于非0下标的dp[i]应该初始为多少呢？
   初始化为0，这样才不会影响dp[i]累加所有的dp[i - nums[j]]。

4. 确定遍历顺序
   个数可以不限使用，说明这是一个完全背包。
   得到的集合是排列，说明需要考虑元素之间的顺序。
   本题要求的是排列，那么这个for循环嵌套的顺序可以有说法了。
   在一文搞懂完全背包之518. 零钱兑换 II问题中就已经讲过了。
   如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。
   如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。
   如果把遍历nums（物品）放在外循环，遍历target的作为内循环的话，举一个例子：计算dp[4]的时候，结果集只有 {1,3} 这样的集合，不会有{3,1}这样的集合，因为nums遍历放在外层，3只能出现在1后面！
   所以本题遍历顺序最终遍历顺序：target（背包）放在外循环，将nums（物品）放在内循环，内循环从前到后遍历。

5. 举例来推导dp数组

我们再来用示例中的例子推导一下： 在这里插入图片描述：

C++代码

class Solution {
public:int combinationSum4(vector& nums, int target) {vectordp(target + 1, 0);dp[0] = 1;for(int i = 0; i <= target; i++){for(int j = 0; j < nums.size(); j++){if(i - nums[j] >= 0 && dp[i] < INT_MAX - dp[i - nums[j]] ){dp[i] += dp[i - nums[j]];}}}return dp[target];}
};

C++测试用例有两个数相加超过int的数据，所以需要在if里加上
dp[i] < INT_MAX - dp[i - num]。

总结

动态规划
英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的

对于动态规划问题，可以拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

这篇文章主要总结了一些动态规划解决518. 零钱兑换 II问题，依然是使用动规五部曲，做每道动态规划题目这五步都要弄清楚才能更清楚的理解题目！

求装满背包有几种方法，递归公式都是一样的，没有什么差别，我们在一文搞懂0 - 1背包之494. 目标和问题中就已经讲过了

dp[j] += dp[j - nums[i]];

本题的难点主要在于遍历顺序！

在求装满背包有几种方案的时候，认清遍历顺序是非常关键的。

• 如果求组合数就是外层for循环遍历物品，内层for遍历背包。（也就是0-1背包一维dp数组常用写法）

• 如果求排列数就是外层for遍历背包，内层for循环遍历物品。

本题与一文搞懂完全背包之518. 零钱兑换 II问题就是一个鲜明的对比，一个是求排列，一个是求组合，遍历顺序完全不同。

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