实验一 八数码问题

1. 题目介绍

八数码问题描述为：在 3×3 组成的九宫格棋盘上，摆有 8 张牌，每张牌都刻有 1-8 中的某一个数码。棋盘中留有一个空格，允许其周围的某张牌向空格移动，这样通过移动牌就可以不断改变棋盘布局。这种游戏求解的问题是：给定一种初始的棋盘布局或结构（初始状态）和一个目标的布局（称目标状态），问如何移动牌，实现从初始状态到目标状态的转变。

例如如下的棋盘要求将初始状态移动到目标状态：

传统的解题方法包含深度优先搜索和广度优先搜索。但这会带来一个问题，即搜索是盲目的，没有根据当前棋盘的布局来动态地调整下一步搜索的策略。为此我们定义了启发式搜索算法（A* 算法），它会提取出当前棋盘的一些特征，来最优地选择下一次要搜索的方向。

对于八数码问题，其启发式方法为当前棋盘与目标棋盘的差异度，而差异度又可以通过两种方法来进行计算。

记当前棋盘为 source，目标棋盘为 target。第一种计算方法为：如果 source[i][j] != target[i][j]，则差异度 += 1；第二种计算方法为：如果 source[i][j] == target[m][n]，则差异度 += (abs(m - i) + abs(n - j))。

例如，对于上面的初始状态和目标状态，使用第一种计算方法，其差异度矩阵为（1 表示该位置两状态矩阵的元素不同，0 表示相同）：

最终可以计算出两个矩阵的差异度为 4。

使用第二种计算方法，其差异度矩阵为（值表示 source[i][j] 的元素移动到目标位置所需的最短步数）：

最终可以计算出两个矩阵的差异度为 5。

不管使用哪种办法，都能得出一个差异度，暂且记为 g。并且，解题的办法要么采用 DFS，要么采用 BFS，两种办法的搜索时间都会随着深度的增加而增加，我们的目标是尽量减少搜索的时间，也就是要想办法减少搜索深度。为了解决这个问题，记当前的搜索深度为 d，那么 d 越小越好。同时，我们又希望 g 越小越好，所以我们整体的目标就可以转化为 d + g 越小越好，这综合了 d 和 g 各自有的优势，是一个良好的 tradeoff。

因此，我们的整体目标也就转化成了：在 DFS 或 BFS 的函数中，对每一个状态都计算 f = d + g，选取 f 最小的那个结点，让它作为下次迭代的首选结点。

2. 代码演示

下面使用三种方式来评估启发式算法的性能，第一种是不使用启发式算法，第二种是使用前文提到的策略 1，第三种是使用前文提到的策略 2。

2.1 不使用启发式算法

在代码中，将变量 use_A_star 设定为 False 即指定不使用启发式算法，运行结果为：

运行 50 次求得所耗平均时间为：0.022931413650512697 s

2.2 使用启发式策略 1

在代码中，将变量 use_A_star 设定为 True，strategy 设定为 1，即指定使用启发式算法 1，运行结果为：

运行 50 次求得所耗平均时间为：0.0021903276443481444 s

2.3 使用启发式策略 2

在代码中，将变量 use_A_star 设定为 True，strategy 设定为 2，即指定使用启发式算法 2，运行结果为：

运行 50 次求得所耗平均时间为：0.002417140007019043 s

3. 结论分析

从三种方法的运行结果可以得出下列结论：使用启发式算法可以大幅度节省程序运行时间（是纯 BFS 的 1/10），启发式算法 1 比启发式算法 2 效率更高，这可能是因为算法 1 在计算矩阵差异度时只需要遍历一遍矩阵，而算法 2 需要遍历两遍矩阵。

4. 源码

import numpy as np
import timeclass Node(object):def __init__(self, source, target, strategy, cost=0, depth=0):self.directions = ['left', 'up', 'right', 'down']self.source = sourceself.target = targetself.cost = costself.depth = depthself.strategy = strategy# 打印原始矩阵def print_source(self):for i in range(3):[print(self.source[i][j], end=' ') for j in range(3)]print()print()# 计算不在位的棋子个数def num_misposition(self):# 比较source和target，不同的地方标记为1，相同的地方标记为0flag = np.where(self.source == self.target, 0, 1)# 返回source与target之间不相同的数的个数return np.sum(np.reshape(flag, (flag.size,)))# 计算耗散值def get_cost(self):if self.strategy == 1:return self.depth + self.num_misposition()elif self.strategy == 2:flag = np.where(self.source == self.target, 0, 1)sum_cost = 0for i in range(3):for j in range(3):if flag[i][j]:for m in range(3):for n in range(3):if self.target[m][n] == self.source[i][j]:dif_row, dif_col = abs(m - i), abs(n - j)sum_cost += (dif_row + dif_col)return sum_cost# 将棋子0分别往四个方向移动def move(self):# 记录棋子0所在的行号和列号row, col = np.where(self.source == 0)row, col = row[0], col[0]moved_nodes = []for direction in self.directions:if direction == 'left' and col > 0:source_copy = self.source.copy()source_copy[row, col], source_copy[row, col - 1] = source_copy[row, col - 1], source_copy[row, col]moved_nodes.append(Node(source_copy, target=self.target, cost=self.get_cost(), depth=self.depth + 1, strategy=self.strategy))elif direction == 'up' and row > 0:source_copy = self.source.copy()source_copy[row, col], source_copy[row - 1, col] = source_copy[row - 1, col], source_copy[row, col]moved_nodes.append(Node(source_copy, target=self.target, cost=self.get_cost(), depth=self.depth + 1, strategy=self.strategy))elif direction == 'right' and col < len(self.source) - 1:source_copy = self.source.copy()source_copy[row, col], source_copy[row, col + 1] = source_copy[row, col + 1], source_copy[row, col]moved_nodes.append(Node(source_copy, target=self.target, cost=self.get_cost(), depth=self.depth + 1, strategy=self.strategy))elif direction == 'down' and row < len(self.source) - 1:source_copy = self.source.copy()source_copy[row, col], source_copy[row + 1, col] = source_copy[row + 1, col], source_copy[row, col]moved_nodes.append(Node(source_copy, target=self.target, cost=self.get_cost(), depth=self.depth + 1, strategy=self.strategy))return moved_nodesclass EightPuzzle(object):def __init__(self, init_node, use_A_star, strategy):self.use_A_star = use_A_starself.queue = []self.closed_nodes = []self.count = 0self.init_node = init_nodeself.time_start = 0self.time_end = 0self.strategy = strategy# 判断传入的结点是否在self.closed_nodes中def is_in_closed_nodes(self, node):for closed_node in self.closed_nodes:# 比较closed_node和node，不同的地方标记为1，相同的地方标记为0flag = np.where(closed_node.source == node.source, 0, 1)if np.sum(np.reshape(flag, (flag.size,))) == 0:return Truereturn False# 获取最小耗散值的那个结点def get_min_cost_index(self):min_cost = self.queue[0].costindex = 0for i in range(len(self.queue)):if self.queue[i].cost < min_cost:index = imin_cost = self.queue[i].costreturn index# bfs求解问题def bfs(self):self.time_start = time.time()self.queue.append(self.init_node)min_cost = self.init_node.costwhile self.queue:if self.use_A_star:current_node_index = self.get_min_cost_index()current_node = self.queue.pop(current_node_index)else:current_node = self.queue.pop(0)self.closed_nodes.append(current_node)# 不在位棋子个数为0，到达终点if current_node.num_misposition() == 0:self.time_end = time.time()return True, self.time_end - self.time_start, current_nodemoved_nodes = current_node.move()for next_node in moved_nodes:if self.is_in_closed_nodes(next_node):continueself.queue.append(next_node)self.count += 1self.time_end = time.time()return False, self.time_end - self.time_start, Nonedef main():source = np.array([[2, 8, 3], [1, 6, 4], [7, 0, 5]])target = np.array([[1, 2, 3], [8, 0, 4], [7, 6, 5]])print('The source matrix is:\n', source)print('The target matrix is:\n', target)use_A_star = Truestrategy = 2init_node = Node(source, target, strategy, cost=0)solution = EightPuzzle(init_node, use_A_star, strategy)has_solved, time_used, result_node = solution.bfs()if has_solved:print('\nThis problem has been solved, using', time_used, 's.')print('The result matrix is:')result_node.print_source()return time_usedif __name__ == '__main__':main()