6.3 线性变换
文章目录
- 多项式乘法
- 多项式求导
- 多项式积分
前面说了向量就是线性组合的数学表示，线性变换就是把这种这种组合变成另一种组合，在我之前的文章中说过多项式乘法就是一种线性变换。而线性变换的重点是将线性变换用矩阵表示，但是要搞清楚变换矩阵是怎么来的。证明过程和细节我就不说了，我就接着上次的例子讲讲线性变换的矩阵形式是怎么来的。
欧几里得空间我就不讲了，重点说说多项式空间，我觉得以多项式空间为例子，一来内容不会和以前的博文重复，二来更具一般性，因为欧几里得空间太常见了。线性变换的核心要义就是，一个线性变换把自然基变成什么样子，那么它的表示矩阵就是什么样子，为此我用多项式空间的几个例子来说明。
多项式乘法
假设有这么一个多项式3x2+x+43x^2+x+43x2+x+4,它去乘最多两次多项式，得到的结果是最多四次多项式，也就是一个五维的向量，怎么用矩阵表示它呢？首先还是那句话，看它把自然基变成什么样子。最多两次多项式有三个基:1,x,x21,x,x^21,x,x2，我们列出来：
1→3x2+x+4x→3x3+x2+4xx2→3x4+x3+4x21 \to 3x^2+x+4\\ x \to 3x^3+x^2+4x\\ x^2 \to 3x^4+x^3+4x^2 1→3x2+x+4x→3x3+x2+4xx2→3x4+x3+4x2
再把这三个变换后的多项式用向量表示，组合起来就可以了，就成为下列矩阵：
(400140314031003)\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\ 1 & 4 & 0\\ 3 & 1 & 4\\ 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}\\ ⎝⎜⎜⎜⎜⎛413000413000413⎠⎟⎟⎟⎟⎞
然后可以变换一个多项式试一试，比如3x2+2x+13x^2+2x+13x2+2x+1,用向量表示就是(1,2,3)T(1,2,3)^T(1,2,3)T，用矩阵乘法代替变换就是：
(400140314031003)(123)=(491799)\begin{pmatrix} 4 & 0 & 0\\ 1 & 4 & 0\\ 3 & 1 & 4\\ 0 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4\\ 9\\ 17\\ 9\\ 9 \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎛413000413000413⎠⎟⎟⎟⎟⎞⎝⎛123⎠⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎛491799⎠⎟⎟⎟⎟⎞
所以结果就是(3x2+x+4)(3x2+2x+1)=9x4+9x3+17x2+9x+4(3x^2+x+4)(3x^2+2x+1)=9x^4+9x^3+17x^2+9x+4(3x2+x+4)(3x2+2x+1)=9x4+9x3+17x2+9x+4.
多项式求导
多项式求导，也是一种线性变换，可以用同样的方法来做，比如对最多四次多项式进行求导，可以写出它的变换矩阵，我们照着套路来：
1→0x→1x2→2xx3→3x2x4→4x31 \to 0\\ x \to 1\\ x^2 \to 2x\\ x^3 \to 3x^2\\ x^4 \to 4x^3 1→0x→1x2→2xx3→3x2x4→4x3
所以求导这个线性变换的表示矩阵就是：
(0100000200000300000400000)\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎛0000010000020000030000040⎠⎟⎟⎟⎟⎞
那我们对x4+2x3+3x2+4x+5x^4+2x^3+3x^2+4x+5x4+2x3+3x2+4x+5求导，就可以转换为矩阵乘法：
(0100000200000300000400000)(54321)=(46640)\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5\\ 4\\ 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 4\\ 6\\ 6\\ 4\\ 0 \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎛0000010000020000030000040⎠⎟⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎜⎜⎛54321⎠⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎛46640⎠⎟⎟⎟⎟⎞
所以结果就是(x4+2x3+3x2+4x+5)′=4x3+6x2+6x+4(x^4+2x^3+3x^2+4x+5)'=4x^3+6x^2+6x+4(x4+2x3+3x2+4x+5)′=4x3+6x2+6x+4.
多项式积分
求导可以，积分也是可以的。以最多四次多项式为例子，还是固定的套路：
∫1=x+C∫x=12x2+C∫x2=13x3+C∫x3=14x4+C∫x4=15x5+C\int 1 = x + C\\ \int x = \frac{1}2x^2 + C\\ \int x^2 = \frac{1}3x^3 + C\\ \int x^3 = \frac{1}4x^4 + C\\ \int x^4 = \frac{1}5x^5 + C ∫1=x+C∫x=21x2+C∫x2=31x3+C∫x3=41x4+C∫x4=51x5+C
所以求积分的变换矩阵就为：
(0000010000012000001300000140000015)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛0100000021000000310000004100000051⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
所以对x4+2x3+3x2+4x+5x^4+2x^3+3x^2+4x+5x4+2x3+3x2+4x+5求积分可以转为矩阵乘法：
(0000010000012000001300000140000015)(54321)=(05211215)\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5\\ 4\\ 3\\ 2\\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\ 5\\ 2\\ 1\\ \frac{1}{2}\\ \frac{1}{5} \end{pmatrix} ⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛0100000021000000310000004100000051⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞⎝⎜⎜⎜⎜⎛54321⎠⎟⎟⎟⎟⎞=⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛05212151⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞
所以积分的结果就出来了：
∫x4+2x3+3x2+4x+5=15x5+12x4+x3+2x2+5x+C\int x^4+2x^3+3x^2+4x+5 = \frac{1}{5}x^5+\frac{1}{2}x^4+x^3+2x^2+5x+C ∫x4+2x3+3x2+4x+5=51x5+21x4+x3+2x2+5x+C