智能算法之模拟退火算法

• • 1.起源
  • 2.物理退火流程
  • • 2.1 加温过程
    • 2.2 等温过程
    • 2.3 冷却过程
    • 2.4 组合优化与物理退化
  • 3.原理
  • • 3.1 算法核心迭代
    • 3.2 具体流程
  • 4.案例
  • 5.代码实现
  • 6.优缺点及可改进方向

1.起源

模拟退火算法来源于热力学中固体物质的退火冷却过程 (退火是一种金属热处理工艺，指的是将金属缓慢加热到一定温度，保持足够时间，然后以适宜速度冷却)。

2.物理退火流程

模拟退火的算法思想是参考物理退火的过程而来，物理退火的过程为：加温过程 -> 等温过程 -> 冷却过程。

2.1 加温过程

通过加温，增强粒子的热运动，让各部分变得均匀。当温度足够高时，固体将熔解为液体，从而消除原先系统中可能存在的非均匀状态，保证后续进行的过程是从平衡态开始，由于是加温过程温度上升，所以该过程系统能量增加。

2.2 等温过程

对于与周围环境交换热量而温度保持不变的封闭系统，系统状态的自发变化总是朝着自由能减少的方向进行，当自由能达到最小时，系统达到平衡态。

2.3 冷却过程

通过一定速率对液体进行冷却，减弱粒子的热运动并趋于有序，在每个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，能量减为最小，从而得到低能态的晶体结构。

2.4 组合优化与物理退化

3.原理

模拟退火算法的基本原理：对于目标函数 f(X)f(X)f(X)、自变量为 XXX 的 nnn 维极小化问题（极大化问题乘以−1-1−1转化为极小化问题），初值 X0X_0X0​ 可以随机化或者自己设置。

3.1 算法核心迭代

设 fk,fk+1f_k,f_{k+1}fk​,fk+1​ 分别为目标函数在第 kkk 次和第 k+1k+1k+1 次迭代值，即 fk=f(Xk),fk+1=f(Xk+1)f_k=f(X_k),f_{k+1}=f(X_{k+1})fk​=f(Xk​),fk+1​=f(Xk+1​)。
若 fk>fk+1f_k>f_{k+1}fk​>fk+1​，则接受 Xk+1X_{k+1}Xk+1​ 作为下一次迭代的初值继续进行运算，直至满足终止条件（收敛或者迭代次数耗尽）；
若 fk接受概率公式如下：p=exp(−fk+1−fkT)p=exp(-\frac{f_{k+1}-f_k}{T})p=exp(−Tfk+1​−fk​​) 其中 TTT 为控制参数，在模拟退火算法中，TTT 必须缓慢减少，避免变化过快，导致优化陷入极值点。

3.2 具体流程

以求解极小值问题为例：
（1）（1）（1）设定初始温度 TTT，迭代次数 LLL，误差 ϵ\epsilonϵ，初始解 X0X_0X0​，得到目标函数f(X0)f(X_0)f(X0​)；
（2）（2）（2）循环进行迭代，k=1,⋯,Lk=1,\cdots,Lk=1,⋯,L；
（3）（3）（3）根据当前温度得到新解 X′X'X′(第一个可以随机生成)， 代入 f(X)f(X)f(X) 得到 f(X′)f(X')f(X′)；
（4）（4）（4）若 f(X)>f(X′)f(X)>f(X')f(X)>f(X′)，则接受 X′X'X′ 作为下一次迭代的初值，若 f(X) （5）（5）（5）若满足终止条件，则输出当前最优解 X′X'X′，终止条件；
（6）（6）（6）TTT 减小，然后回到流程（2）（2）（2），在当前温度下继续循环迭代，执行步骤（3，4，5）（3，4，5）（3，4，5）；
（7）（7）（7）注意，这里的终止条件可以有多个，比如：迭代次数耗尽、满足最优解、温度降低到一定值、新目标函数与原先目标函数的误差小于 ϵ\epsilonϵ。

4.案例

5.代码实现

6.优缺点及可改进方向